Algebraické číslo
Algebraické číslo je každé komplexní číslo, které je kořenem nějakého polynomu (mnohočlenu) s racionálními koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé racionální číslo je algebraické. Iracionální číslo je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice . Naopak Ludolfovo číslo algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají transcendentní. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.
Z poznatků algebry a geometrie plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je kvadratura kruhu, trisekce úhlu či duplikace krychle.
Analogie algebraického čísla pro jiná tělesa než racionální čísla se nazývá algebraický prvek.
Vlastnosti
- Součet, rozdíl, součin a podíl algebraických čísel je opět algebraické číslo (vyjma dělení nulou), algebraická čísla jsou tedy na těchto operacích uzavřená a množina všech algebraických čísel tak tvoří těleso (splnění ostatních požadovaných vlastností operací kromě uzavřenosti vyplývá obecně z vlastností operací s komplexními čísly).
- Kořeny polynomu, jehož koeficienty jsou algebraická čísla, jsou opět algebraická čísla.
- Algebraických čísel je spočetně mnoho.
Odkazy
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu algebraické číslo na Wikimedia Commons - Algebraické číslo v encyklopedii MathWorld (anglicky)
