Kardinální číslo

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní.

Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu.

Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše definovat, že množiny mají stejnou kardinalitu, a to i pro nekonečné množiny, například přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ("alef nula", alef je první písmeno hebrejské abecedy).

Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, mohutnost kontinua, dnes běžně značený c. Vyjadřuje mohutnost množiny reálných čísel. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (${\displaystyle \aleph _{0}}$) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\cdots }$).

Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = ${\displaystyle \aleph _{1}}$. Marné pokusy tuto hypotézu vyřešit dováděly Cantora k šílenství. Po pečlivé axiomatizaci teorie množin se ukázalo, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na jejich základě dokázáno ani vyvráceno.

Ordinální číslo ${\displaystyle \alpha \,\!}$ nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo ${\displaystyle \beta <\alpha \,\!}$ má i menší mohutnost (tj. ${\displaystyle \alpha \,\!}$ nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu ${\displaystyle \beta \,\!}$). Označíme-li jako ${\displaystyle Cn\,\!}$ třídu všech kardinálních čísel a ${\displaystyle On\,\!}$ třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: ${\displaystyle \alpha \in Cn\Leftrightarrow (\forall \beta )(\beta <\alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha ))}$

Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety ${\displaystyle \kappa ,\lambda ,\mu \,\!}$, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \,\!}$

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace ${\displaystyle \approx \,\!}$ (viz článek mohutnost).
Je-li ${\displaystyle x\,\!}$ množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál ${\displaystyle \lambda \,\!}$, říkáme, že ${\displaystyle \lambda \,\!}$ je mohutnost množiny ${\displaystyle x\,\!}$ a píšeme ${\displaystyle |x|=\lambda \,\!}$.
Jednoznačné zobrazení mohutnosti všech množin na kardinály je závislé na axiomu výběru. Připouštíme-li axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze zobrazit na nějaký kardinál. V případě, že axiom výběru neplatí, však mohou existovat množiny, jejichž mohutnost nelze definovat výše uvedeným způsobem.

1. Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
2. Množina ${\displaystyle \omega \,\!}$ všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný nekonečný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další nekonečné kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
3. Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
4. Třída ${\displaystyle Cn\,\!}$ všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou ${\displaystyle On\,\!}$ všech ordinálů – kardinály tedy lze očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, ${\displaystyle \omega \,\!}$. Pokusme se najít nějaký další:

• ordinální čísla ${\displaystyle \omega +1,\omega +2,\omega +3,\ldots \,\!}$ jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál ${\displaystyle \omega \,\!}$
• ordinální čísla ${\displaystyle \omega +\omega =\omega .2,\omega .3,\omega .4,\ldots \,\!}$ jsou stále spočetná
• ordinální čísla ${\displaystyle \omega .\omega =\omega ^{2},\omega ^{3},\omega ^{4},\ldots \,\!}$ jsou stále spočetná
• ordinální čísla ${\displaystyle \omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \,\!}$ jsou stále spočetná
• dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako ${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$) je stále spočetné

Jak je vidět, za ${\displaystyle \omega \,\!}$ následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů ${\displaystyle Cn-\omega \,\!}$ – také existuje izomorfismus mezi ní a ${\displaystyle On\,\!}$.
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena ${\displaystyle \aleph \,\!}$.

• ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$ je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
• ${\displaystyle \aleph _{1}}$ je nejmenší nespočetný kardinál
• pro každý ordinál ${\displaystyle \alpha \,\!}$ existuje kardinál ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály ${\displaystyle \aleph _{2},\aleph _{3},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega ^{\omega }+\omega .5+127}}$

Dá se ukázat, že funkce ${\displaystyle \aleph \,\!}$ je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě ${\displaystyle On\,\!}$ nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s ${\displaystyle On\,\!}$.

Aplikováno konkrétně na funkci ${\displaystyle \aleph \,\!}$: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů ${\displaystyle \alpha \,\!}$, pro které platí, že ${\displaystyle \alpha =\aleph _{\alpha }}$.

Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ v předchozím oddílu, vidíme, že funkce ${\displaystyle \aleph \,\!}$ má opravdu podivné vlastnosti:

• na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ je hodně daleko od její první hodnoty ${\displaystyle \aleph _{0}\,\!}$)
• na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí ${\displaystyle Id:Id(\alpha )=\alpha \,\!}$ – v takovýchto pevných bodech platí ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=Id(\alpha )=\alpha \,\!}$

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

• Kardinální aritmetika
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Mohutnost
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál
• Hypotéza kontinua
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kardinální číslo na Wikimedia Commons