Cantorova–Bernsteinova věta

Nejpřirozenější formulací Cantorovy-Bernsteinovy věty je následující:

Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.

Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:

Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.

Zobrazení h

Nechť ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ a ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$ jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení ${\displaystyle h:P(A)\rightarrow P(A)}$, kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro ${\displaystyle U\subseteq A:h(U)=g[B-f[A-U]]}$ (viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro ${\displaystyle U\subseteq V}$ je ${\displaystyle h(U)\subseteq h(V)}$). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že ${\displaystyle U\,=\,h(U)}$). K tomu stačí zvolit ${\displaystyle U=\bigcup \{V\subseteq A;V\subseteq h(V)\}}$. Nakonec, je-li ${\displaystyle W\subseteq A}$ pevný bod h, položíme ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x){\mbox{ pro x}}\in A-W\\g^{-1}(x){\mbox{ pro x}}\in W\end{cases}}}$. Snadno se ověří, že ${\displaystyle F:A\rightarrow B}$ je bijekce.

Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantorovy-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. Dostupné online. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola I5, s. 78.