Univerzální třída

Univerzální třída se obvykle značí ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ a bývá definována jako ${\displaystyle \,\mathbb {V} =\{x:x=x\}}$. S ohledem na to, že ${\displaystyle =\,\!}$ je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

• Univerzální třída ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu.

Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$. Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$, pak je podle definice tato množina podmnožinou ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$.

• Univerzální třída ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ není množina (je to tedy vlastní třída).

Pokud by ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!}$. Podle Cantorovy věty má ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!}$ větší mohutnost než ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$, ale podle předchozího odstavce je zároveň ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!}$ podmnožinou ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$, což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

• Univerzální třída ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ není jedinou vlastní třídou – existují i „menší“ vlastní třídy, například třída ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ všech ordinálních čísel nebo třída ${\displaystyle \mathbb {C} n\,\!}$ všech kardinálních čísel.

To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce ${\displaystyle x\in \mathbb {V} \implies x\subseteq \mathbb {V} \,\!}$ nelze obrátit implikaci.

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí ${\displaystyle ZF_{-}}$).

• axiom fundovanosti (AF): Pak ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ je rovna fundovanému jádru ${\displaystyle \mathbb {WF} \,\!}$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny iterováním operace potence)
• axiom konstruovatelnosti (V=L): Pak ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ je rovna třídě konstruovatelných množin ${\displaystyle \mathbb {L} \,\!}$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny postupným uzavíráním na Gödelovské operace)
• axiom silného výběru (AS): Pak existuje bijekce mezi ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ a třídou ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ všech ordinálních čísel.
• axiom silného výběru (AS) + axiom superuniverzality (ASU): Pak existuje netriviální elementární vnoření ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ do ${\displaystyle \kappa }$-saturované tranzitivní třídy.

• Fundované jádro
• Konstruovatelná množina
• Teorie množin
• Třída
• Vlastní třída