Cantorova věta

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonální metody - pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu ${\displaystyle \mathbb {P} (x)}$ lze sestrojit prvek množiny ${\displaystyle \mathbb {P} (x)}$, který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech - potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny ${\displaystyle \mathbb {P} (x)}$ ke každé množině, jak je tomu například v Zermelo-Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta k takzvanému Cantorovu paradoxu: Pokud je ${\displaystyle \mathbb {V} }$ množina všech množin, pak množina ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {V} )}$ všech jejích podmnožin má větší mohutnost než ${\displaystyle \mathbb {V} }$, což je spor.

Nechť ${\displaystyle X\,\!}$ je libovolná množina a ${\displaystyle P(X)\,\!}$ množina všech podmnožin ${\displaystyle X\,\!}$ (potenční množina). Tvrzení, že ${\displaystyle P(X)\,\!}$ má větší mohutnost než ${\displaystyle X\,\!}$, je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z ${\displaystyle X\,\!}$ do ${\displaystyle P(X)\,\!}$, které by bylo na (surjektivní). Toto ukážeme sporem:

Nechť existuje zobrazení ${\displaystyle f:X\rightarrow P(X)}$, které je na. Tedy pro každý prvek ${\displaystyle A\in P(X)}$ (A je množina!) existuje nějaké ${\displaystyle x\in X}$ tak, že ${\displaystyle f(x)=A\,\!}$.

Nyní definujme podmnožinu ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle Y=\{x\in X:x\notin f(x)\}}$.

${\displaystyle Y}$ obsahuje ty prvky ${\displaystyle X}$, které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením ${\displaystyle f}$. ${\displaystyle Y}$ je zřejmě podmnožina ${\displaystyle X}$ a tedy musí existovat ${\displaystyle y\in X}$ tak, že ${\displaystyle Y=f(y)\,\!}$. Mohou tedy nastat dvě možnosti:

1. ${\displaystyle y\in Y}$, to je ale spor s definicí ${\displaystyle Y}$, podle které ${\displaystyle y\notin f(y)}$, ale ${\displaystyle f(y)=Y\,\!}$,
2. ${\displaystyle y\notin Y}$, jenže pak z definice ${\displaystyle Y}$plyne ${\displaystyle y\in f(y)}$ a podle předpokladu ${\displaystyle Y=f(y)}$ musí platit ${\displaystyle y\in Y}$, což je opět spor.

Existence zobrazení ${\displaystyle f:X\rightarrow P(X)}$, které je na, vede ke sporu a tedy ${\displaystyle P(X)\,\!}$ má vždy větší mohutnost než ${\displaystyle X\,\!}$.

• Potenční množina
• Mohutnost
• Kardinální číslo
• Kardinální aritmetika

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cantorova věta na Wikimedia Commons