Teorie množin

Za praotce teorie množin lze považovat Bernarda Bolzana.^[zdroj?] Ve své knize Paradoxy nekonečna z poloviny 19. století se věnuje vlastnostem nekonečných objektů. Významný vliv měl dále Georg Cantor, který během druhé poloviny 19. století položil základy teorie množin jako samostatné matematické disciplíny. Cantorovská teorie množin se specificky zabývala především nekonečnými množinami čísel^[zdroj?] a pojem množina chápala jako soubor objektů, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, které objekty do něj patří a které nikoliv. Často je dnes nazývána naivní teorií množin.^[zdroj?]

Rychlý rozvoj této matematické disciplíny vedl na přelomu 19. a 20. století k objevení paradoxů intuitivní teorie množin (Russellův paradox, Burali-Fortiho paradox), což vedlo k axiomatizaci teorie množin. Z axiomatických systémů, které vznikly, jsou dnes nejběžněji používané Zermelova-Fraenkelova teorie množin a Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin.

Následuje seznam základních symbolů, které požívá jazyk teorie množin.^[zdroj?]

• ${\displaystyle \emptyset ,\{\}}$ — prázdná množina (neobsahující žádné prvky)
• ${\displaystyle \,\{a,b,c\}}$ — množina obsahující právě vyčtené prvky — v tomto případě obsahuje tři prvky ${\displaystyle a,b,c}$
• Pokud ${\displaystyle V(x)}$ je výrok obsahující volnou proměnnou ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle a}$ je množina, je ${\displaystyle \,\{x\in a:V(x)\}}$, resp. ${\displaystyle \,\{x\in a;V(x)\}}$ nebo ${\displaystyle \,\{x\in a|V(x)\}}$ množina obsahující právě všechny prvky ${\displaystyle x}$, které jsou v ${\displaystyle a}$ a pro které platí výrok ${\displaystyle V}$

Funkční symboly:^[zdroj?]

• ${\displaystyle a\cup b}$ — sjednocení dvou množin: ${\displaystyle a\cup b=\{x:x\in a\vee x\in b\}}$
• ${\displaystyle a\cap b}$ — průnik dvou množin: ${\displaystyle a\cap b=\{x:x\in a\land x\in b\}}$
• ${\displaystyle \bigcup a}$ — sjednocení všech prvků ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \bigcup a=\{x:(\exists y)(x\in y\land y\in a)\}}$
• ${\displaystyle \bigcap a}$ — průnik všech prvků ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \bigcap a=\{x:(\forall y)(y\in a\Rightarrow x\in y)\}}$

Predikátové^[zdroj?] symboly:

• ${\displaystyle a\subseteq b}$ — množina ${\displaystyle a}$ je podmnožinou množiny ${\displaystyle b}$, obsahuje pouze prvky z ${\displaystyle b}$ — ${\displaystyle (\forall x)(x\in a\Rightarrow x\in b)}$
• ${\displaystyle a\in b}$ — množina ${\displaystyle a}$ je prvkem množiny ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a=b}$ — množiny ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou shodné, mají stejné prvky — ${\displaystyle (\forall x)(x\in a\Leftrightarrow x\in b)}$

Jako naivní teorie množin je dnes označována původní teorie množin vytvořená Georgem Cantorem v druhé polovině 19. století. Název naivní je používán pro zdůraznění protikladu mezi Cantorovým intuitivním pojetím pojmu množina a dnes používanými axiomatickými systémy teorie množin.^[zdroj?]

Naivní teorie množin se nezabývá přesnou definicí pojmu „množina“, „uspořádaná dvojice“ apod. a pracuje s nimi způsobem, který se učí na základních a středních školách.^[zdroj?]

I přes použité slovo naivní je Cantorova teorie dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín^[zdroj?] a bylo v ní dosaženo významných výsledků ve zkoumání vlastností nekonečných množin (Cantorova věta, kardinální aritmetika, transfinitní indukce), což byla Cantorova motivace pro její vytvoření.^[zdroj?]

Tato teorie však uspokojivě neřeší způsob práce s „příliš velkými“ množinami^[zdroj?] - viz například Russellův a Cantorův paradox.

Axiomatická teorie množin je označení pro teorii, která formalizuje vlastnosti množin takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná tvrzení této teorie budou přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky (algebra, diferenciální rovnice, geometrie, teorie pravděpodobnosti i všechny ostatní).^[zdroj?]

Hlavní význam takových teorií je v tom, že staví na velmi solidní základ pojem "dokazatelné matematické tvrzení" a tedy poskytují užitečné vodítko při ověřování, zda nějaký matematický důkaz je korektní.^[zdroj?]

Nejpoužívanější axiomatická teorie množin je jednak Zermelova-Fraenkelova teorie množin (značení ZF) a dále ZF s přidaným axiomem výběru (ta se značí ZF+AC nebo ZFC). ZFC je všeobecně uznávána jako teorie, která přesně popisuje platné matematické pravdy, tj. matematická věta je pokládána za pravdivou, právě když je dokazatelná v ZFC (dokazatelnost ovšem nelze snadno ověřit, neboť v každém okamžiku existuje mnoho pravdivých hypotéz, které ještě nebyly dokázány nebo ani vysloveny).^[zdroj?] Dalšími axiomatickými systémy jsou Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin a Kelleyova-Morseova teorie množin.

Aplikace Gödelových vět o neúplnosti na axiomatickou teorii množin přináší vhledy na podstatu a filosofii matematiky, neboť z ní vyplývá, že sebelepší axiomatika teorie množin bude vždy obsahovat nerozhodnutelná tvrzení^[zdroj?] (množinu všech matematických pravd nelze popsat žádnou soustavou axiomů) a že pokud teorie, kterou chceme používat k popisu všech matematických pravd, je bezesporná, nelze tuto bezespornost dokázat.^[zdroj?]