Ekvivalence (matematika)

Binární relace ${\displaystyle R\,\!}$ na množině ${\displaystyle X\,\!}$ je ekvivalencí, pokud je ${\displaystyle R\,\!}$ na ${\displaystyle X\,\!}$

• reflexivní, tj. ${\displaystyle \forall a\in X:[a,a]\in R\,\!}$
• symetrická, tj. ${\displaystyle \forall a,b\in X:[a,b]\in R\implies [b,a]\in R\,\!}$
• tranzitivní, tj. ${\displaystyle \forall a,b,c\in X:(([a,b]\in R\land [b,c]\in R)\implies [a,c]\in R)\,\!}$

Relace ekvivalence určuje jednoznačně rozklad (faktormnožinu) množiny ${\displaystyle X\,\!}$ na třídy ekvivalence.

Rozkladem zde rozumíme takovou množinu ${\displaystyle Y\subseteq {\mathcal {P}}(X)\,\!}$ podmnožin množiny ${\displaystyle X\,\!}$, že sjednocením této množiny je ${\displaystyle X\,\!}$ a každé dva prvky množiny ${\displaystyle Y\,\!}$ jsou disjunktní:

• ${\displaystyle Y\subseteq {\mathcal {P}}(X)\,\!}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\,\!}$ je potenční množina množiny ${\displaystyle X\,\!}$
• ${\displaystyle \bigcup Y=X\,\!}$
• ${\displaystyle (a,b\in Y\land a\neq b)\implies a\cap b=\emptyset \,\!}$

Třídy ekvivalence jsou právě podmnožiny ${\displaystyle X\,\!}$, přičemž každá třída ekvivalence obsahuje právě všechny takové prvky z množiny ${\displaystyle X\,\!}$ , že každé dva v rámci této třídy jsou navzájem ekvivalentní ve smyslu dané relace. Každý z těchto prvků je ekvivalentní i se sebou samým (reflexivita). Třídu ekvivalence, do které patří právě nějaký prvek ${\displaystyle a\in X\,\!}$, značíme ${\displaystyle [a]_{R}\,\!}$. Z definice je tedy patrné, že tento prvek ${\displaystyle a\in [a]_{R}\,\!}$ je ekvivalentní s každým jiným prvkem náležícím do ${\displaystyle [a]_{R}\,\!}$. Rozklad množiny ${\displaystyle X\,\!}$ podle ekvivalence ${\displaystyle R\,\!}$ je následující množina:
${\displaystyle X/R=\{[a]_{R}:a\in X\}\,\!}$

Platí to i naopak – každý rozklad ${\displaystyle Y\,\!}$ množiny ${\displaystyle X\,\!}$ určuje jednoznačně právě jednu relaci ekvivalence: ${\displaystyle [a,b]\in R\Leftrightarrow (\exists y\in Y)(a\in y\land b\in y)\,\!}$