Borelovská množina

Jestliže X je metrický prostor, můžeme borelovskou algebru v prvním smyslu generativně popsat takto:

Pro kolekci T podmnožin X (to jest pro libovolnou podmnožinu potenční množiny X, P(X)), definujeme

• ${\displaystyle T_{\sigma }\quad }$ všechna spočetná sjednocení prvků z T
• ${\displaystyle T_{\delta }\quad }$ všechny spočetné průniky prvků z T
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.\,}$

Pak pomocí transfinitní indukce definujeme posloupnost G^m, kde m je ordinální číslo:

• Východiskem je ${\displaystyle G^{0}}$ – kolekce otevřených podmnožin X.
• Jestliže i není limitní ordinál, pak i má bezprostředně předcházející ordinál i − 1. V tomto případě definujeme

  ${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$

• Jestliže i je limitní ordinál, definujeme

  ${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$

Tvrdíme, že borelovská algebra je G^ω₁, kde ω₁ je první nespočetný ordinál. Jinak řečeno borelovskou algebru můžeme generovat z třídy otevřených množin iterováním operací

${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$

do prvního nespočetného ordinálu.

Pro důkaz tohoto tvrzení je třeba si uvědomit, že libovolnou otevřenou množinu v metrickém prostoru lze získat jako sjednocení rostoucí posloupnosti uzavřených množin. Speciálně je vidět, že doplňky množin zobrazují G^m do sebe pro libovolný limitní ordinál m; pokud m je nespočetný limitní ordinál, pak G^m je uzavřená na spočetná sjednocení.

Pro libovolnou borelovskou množinu B existuje nějaký spočetný ordinál α_B takový, že B lze získat iterováním operace nad α_B. Pokud se B probíhá všemi borelovskými množinami, α_B bude probíhat všemi spočetnými ordinály, a proto prvním ordinálem, pro který získáme všechny borelovské množiny, je ω₁, první nespočetný ordinál.

George Mackey píše, že borelovský prostor je „množina spolu s význačnou σ-algebrou svých podmnožin, které se nazývají borelovské množiny.“[1]. Nicméně modernější terminologie používá pro takové prostory název měřitelný prostor. Důvodem pro toto rozlišování je, že Borelovská σ-algebra je σ-algebra generovaná otevřenými množinami topologického prostoru, zatímco Mackeyova definice se vztahuje na množiny opatřené libovolnou σ-algebrou. Existují měřitelné prostory, které jsou neborelovské prostory v tomto omezenějším topologickém smyslu[2].

Měřitelné prostory vytvářejí kategorie, ve kterých homomorfismy jsou měřitelnými funkcemi mezi měřitelnými prostory. Funkce ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ je měřitelná, jestliže vzorem každé měřitelné množiny B v Y, ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ je měřitelná množina v X.

Věta. Nechť X je polský prostor, tj. topologický prostor takový, že existuje metrika d na X, která definuje topologii X, a díky které je X úplný separabilní metrický prostor. Pak X jako Borelovský prostor je izomorfní s jedním z prostorů (1) R, (2) Z nebo (3) s konečným prostorem. (Tento výsledek připomíná Maharamovu větu.)

Reálná přímka R a sjednocení R s libovolnou spočetnou množinou jsou jako borelovské prostory izomorfní.

Standardní borelovský prostor je borelovský prostor na polském prostoru.

Jakýkoli standardní borelovský prostor je definovaný (až na isomorfismus) svoji kardinalitou[3], a libovolný nespočetný standardní borelovský prostor má kardinalitu kontinua.

Pro podmnožiny polských prostorů lze borelovské množiny charakterizovat jako množiny, který jsou obory hodnot spojitých injektivních zobrazení definovaný na polských prostorech. Ale obor hodnot spojitého neinjektivního zobrazení nemusí být borelovský. Viz analytická množina.

Každá pravděpodobnostní míra na standardním borelovském prostoru vytváří z tohoto prostoru standardní pravděpodobnostní prostor.

Příklad podmnožiny reálných čísel, která není borelovská, a který ukázal Nikolaj Nikolajevič Luzin[4] (Sect. 62, stránky 76-78), je popsán níže. Naopak, příklad neměřitelné množiny nemůže být ukázán, ačkoli její existence dokázána být může.

Každé iracionální číslo lze jednoznačně reprezentovat řetězovým zlomkem:

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

kde ${\displaystyle a_{0}\,}$ je nějaké celé číslo a všechna ostatní čísla ${\displaystyle a_{k}\,}$ jsou kladná celá čísla. Nechť ${\displaystyle A\,}$ je množina všech iracionálních čísel, která odpovídají posloupnostem ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )\,}$ které mají následující vlastnost: existuje nekonečná podposloupnost ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )\,}$ taková, že každý prvek je dělitelem svého následovníka. Tato množina ${\displaystyle A\,}$ není borelovská. Ve skutečnosti je to analytická množina, která je kompletní ve třídě analytických množin. Další podrobnosti jsou v knize od Kechrise o deskriptivní teorii množin, zvláště ve cvičení (27.2) na straně 209, v definici (22.9) na straně 169 a cvičení (3.4)(ii) na straně 14.

Jinou neborelovskou množinou je inverzní obraz ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ nekonečné paritní funkce ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$. Nicméně toto je důkaz (pomocí axiomu výběru) existence, ne explicitní příklad.

Podmnožina lokálně kompaktního Hausdorffova topologického prostoru se nazývá borelovská množina, jestliže patří do nejmenšího σ-okruhu obsahujícího všechny kompaktní množiny.