Mohutnost kontinua

Původní Cantorův důkaz uvedený v dopise Richardu Dedekindovi ze 7. prosince 1873 zní následovně:

Předpokládejme pro spor, že existuje očíslování všech reálných čísel čísly přirozenými a všechna reálná čísla jsou seřazena do posloupnosti ${\displaystyle \,(x_{n})}$. Vybírejme postupně uzavřené intervaly ${\displaystyle \,I_{n}}$ tak, aby ${\displaystyle \,I_{n+1}\subseteq I_{n}}$ a ${\displaystyle \,x_{n}\not \in I_{n}}$. Pak ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ je průnikem uzavřených do sebe zařazených intervalů, tedy je neprázdný. Zároveň však nemůže obsahovat žádné reálné číslo, neboť každé takové číslo je nějaké ${\displaystyle \,x_{n}}$, což není již v ${\displaystyle \,I_{n}}$ a tedy ani v průniku.

Díky práci Richarda Dedekinda věděl již Cantor, že všech algebraických čísel je pouze spočetně mnoho (lze je očíslovat přirozenými čísly). Když tedy ukázal, že všech reálných čísel spočetně mnoho není (nelze je očíslovat přirozenými čísly), prokázal tím zároveň, že obory algebraických a reálných čísel nemohou být totožné, tedy existují transcendentní čísla. Cantor dokázal dokonce více: transcendentních čísel je nespočetně mnoho, tedy více než čísel algebraických, a to aniž by jeho důkaz obsahoval jakýkoli náznak konstrukce byť jen jediného transcendentálního čísla. Tento důkaz tedy spadá do kategorie nekonstruktivních důkazů.

Když se Georg Cantor zabýval zjišťováním mohutností různých podmnožin reálných čísel, uvědomil si, že každá množina, kterou se zabýval, je buď spočetná nebo má již mohutnost kontinua. Postupně nabyl přesvědčení, že podmnožina reálných čísel, která by měla mohutnost různou od těchto dvou neexistuje a tuto svoji domněnku formuloval jako hypotézu kontinua. Nikdy se mu ji však nepodařilo dokázat. A není divu - v roce 1963 publikoval Paul Cohen článek, v němž ukázal, že hypotézu kontinua nelze v teorii množin dokázat.