Neměřitelná množina

První náznak, že může být problém při definování délky libovolné množiny, vychází z Vitaliho věty.[1]

Když vytvoříme sjednocení dvou disjunktních množin, očekáváme, že míra výsledku bude součtem míry těchto dvou množin. Míra s touto přirozenou vlastností se nazývá konečně aditivní. Zatímco konečně aditivní míra je dostatečná pro většinu intuitivních představ plochy a je analogická s Riemannovým integrálem, je považována za nedostatečnou pro pravděpodobnost, protože konvenční moderní zpracování sekvencí událostí nebo náhodných proměnných vyžaduje spočetnou aditivitu.

V tomto ohledu je rovina podobná přímce; existuje konečně aditivní míra, které rozšiřuje Lebesgueovu míru, které je invariantní ve všech izometriích. Po přechodu do trojrozměrného prostoru se však obraz zhorší. Hausdorffův paradox a Banachův-Tarského paradox ukazují, že je možné vzít trojrozměrnou kouli o poloměru 1, rozložit ji na 5 částí, části posunout a otočit a získat dvě koule o poloměru 1. Tato konstrukce však není fyzicky realizovatelná. V roce 1989 A. K. Dewdney publikoval dopis od svého přítele Arla Lipofa v rubrice Computer Recreations časopisu Scientific American, kde popisuje podzemní operaci „v jihoamerické zemi“ zdvojnásobení zlatých koulí pomocí Banachova-Tarského paradoxu.[2] Přirozeně to bylo v dubnovém čísle a „Arlo Lipof“ je anagram aprílu (anglicky April Fool).

Uvažujme S, množinu všech bodů v jednotkové kružnici, a akci na S grupy G sestávající ze všech racionálních rotací (rotace o úhly, které jsou racionálními násobky π). Grupa G je spočetná (konkrétněji G je izomorfní s ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$) pokud S je nespočetná. S se proto rozpadne na nespočetně mnoho orbit podle G. Pomocí axiomu výběru bychom mohli vybrat jeden bod z každé orbity a získat tak nespočetnou podmnožinu ${\displaystyle X\subset S}$ s vlastností, že všechny translace (posunuté kopie)[3] X o G jsou různé od X i od sebe navzájem. Množina těchto translací rozděluje kruh na spočetnou množin nesouvislých množin, které jsou všechny po dvou shodné (pomocí racionálních rotací). Množina X bude neměřitelná pro jakoukoli rotačně invariantní měřitelnou aditivní pravděpodobnostní míru na S: pokud X má nulovou míru, spočetná aditivita by znamenala, že celá kružnice má nulovou míru. Pokud má X kladnou míru, spočetná aditivita by ukázala, že kruh má nekonečnou míru.

Banachův-Tarského paradox ukazuje, že ve trojrozměrném prostoru nelze konzistentně definovat objem, pokud se nevzdáme jednoho z následujících předpokladů:

1. Objem množiny se při rotaci nemění
2. Objem sjednocení dvou disjunktních těles je roven součtu objemů obou těles
3. Každé těleso (resp. každá množina bodů) je měřitelné
4. Platí axiomy Zermelovy–Fraenkelovy teorie množin s axiomem výběru

Standardní teorie míry vychází z popření předpokladu 3; definuje velkou množin měřitelných množin

V roce 1972 Robert M. Solovay ukázal, že existence lebesgueovsky neměřitelné množiny není dokazatelná v rámci Zermelovy–Fraenkelovy teorie množin bez doplnění určitého dalšího axiomu (např. axiomu výběru) tím, že ukázal, že (za předpokladu konzistence nedosažitelného kardinálu) existuje tzv. Solovayův model, ve kterém platí axiom spočetného výběru, každá množina je lebesgueovsky měřitelná, ale neplatí plný axiom výběru.

Axiom výběru je ekvivalentní základnímu výsledku obecné topologie, Tichonovově větě, a také sjednocení dvou základních výsledků funkcionální analýzy, Banachově–Alaogluově větě a Kreinově–Milmanově větě. Také do velké míry ovlivňuje teorii nekonečných grup, stejně jako teorii okruhů a teorii uspořádání (viz věta o Booleově prvoideálu). Pro většinu geometrických teorií míry, teorii potenciálu, Fourierovy řady a Fourierovu transformaci však postačuje současná platnost axiomu determinovanosti a axiomu závislého výběru, díky kterým jsou všechny podmnožiny množiny reálných čísel lebesgueovsky měřitelné.