Leonhard Euler

Euler sa narodil v Bazileji. Jeho otec, Paul Euler, bol pastorom reformovanej cirkvi a matka, Marguerite Bruckerová, bola dcérou pastora. Leonhard mal dve mladšie sestry Annu Mariu a Maria Magdalenu. Zanedlho po narodení Leonharda sa jeho rodina presťahovala z Bazileja do mesta Riehen, kde Euler strávil väčšinu svojho detstva. Paul Euler bol priateľom Bernoulliho rodiny – Johann Bernoulli, ktorý bol považovaný za popredného európskeho matematika, mal najvýznamnejší vplyv na mladého Leonharda. Prvé oficiálne vzdelávanie začal Euler v Bazileji, kde býval u svojej starej mamy z matkinej strany. V trinástich rokoch bol prijatý na Univerzitu v Bazileji a v roku 1723 získal titul Master of Philosophy (dnes Mgr.) s diplomovou prácou, ktorá porovnávala filozofiu Descarta a Newtona. V tom čase dostával Euler sobotné lekcie od Johanna Bernoulliho, ktorý rýchlo objavil u svojho nového žiaka neuveriteľné nadanie na matematiku. Euler v tom čase študoval teológiu, gréčtinu a hebrejčinu na naliehanie svojho otca, ktorý chcel, aby sa Euler stal pastorom, Bernoulli však presvedčil Paula Eulera, že Leonhardovi je predurčené stať sa veľkým matematikom. V roku 1726 Euler ukončil svoju dizertáciu o šírení zvuku s názvom De Sono a v roku 1727 sa zapojil do súťaže Prize Problem Parížskej akadémie, kde problémom toho roku bolo nájsť najlepší spôsob, ako umiestniť sťažne na lodi. Vyhral druhú cenu, porazil ho len Pierre Bouguer, ktorý je teraz známy ako „otec lodnej architektúry“. Euler následne vyhral túto cenu dvanásťkrát.

V tom čase dvaja synovia Johanna Bernoulliho, Daniel a Nicolas, pracovali v Ruskej Akadémii vied v Petrohrade. Nicolas v júli 1726, po roku strávenom v Rusku, zomrel na zápal slepého čreva a keď Daniel prevzal postavenie svojho brata na matematicko-fyzikálnom poli, odporučil, aby miesto vo fyziológii, ktoré on uvoľnil, obsadil jeho priateľ Euler. V novembri 1726 Euler túto ponuku prijal, ale odložil svoju cestu do Petrohradu, kým sa neúspešne pokúsil o profesúru fyziky na Univerzite v Bazileji.

Dňa 17. mája 1727 pricestoval Euler do hlavného mesta Ruska. Bol povýšený z pozície „juniora“ na lekárskej katedre akadémie na miesto na katedre matematiky. Býval s Danielom Bernoullim, s ktorým často úzko spolupracoval. Naučil sa ruštinu a usadil sa v Petrohrade. Prijal aj ďalšiu prácu ako medik v ruskom námorníctve.

Akadémia v Petrohrade, založená Petrom Veľkým, bola určená pre zlepšenie vzdelávania v Rusku a preklenutie vedeckej priepasti so západnou Európou. Týmto sa stala zvlášť atraktívnou pre zahraničných učencov, akým bol aj Euler. Akadémia mala dostatok finančných prostriedkov a rozsiahlu knižnicu ťažiacu zo súkromných knižníc Petra Veľkého a šľachty. Do akadémie bol prijímaný obmedzený počet študentov, aby bol učiteľský zbor odbremenený s dôrazom na výskum a bol mu poskytnutý nielen čas ale aj sloboda venovať sa vedeckým otázkam.

Katarína I., sponzorka akadémie, ktorá pokračovala v pokrokovej politike svojho manžela, zomrela v deň príchodu Eulera. Ruská šľachta takto nadobudla väčšiu moc nad dvanásťročným Petrom II. Keďže nedôverovala zahraničným vedcom akadémie, rozhodla sa znížiť financovanie a spôsobovala ďalšie ťažkosti Eulerovi a jeho kolegom.

Po smrti Petra II. sa podmienky trochu zlepšili, Euler rýchlo postupoval v pozíciách na akadémii a v roku 1731 sa stal profesorom fyziky. O dva roky neskôr, Daniel Bernoulli, znechutený cenzúrou a nehostinnosťou, ktorým musel v Petrohrade čeliť, odišiel do Bazileje. Euler nastúpil na jeho miesto ako vedúci katedry matematiky.

7. januára 1734 sa oženil s Katharinou Gsellovou, dcérou maliara Akademického Gymnázia. Mladý pár kúpil dom na rieke Neve. Z ich trinástich detí sa iba päť dožilo vyššieho veku.

Znepokojovaný trvajúcim nepokojom v Rusku, opustil Euler 19. júna 1741 Petrohrad a prijal miesto v Berlínskej Akadémii, ktoré mu ponúkol pruský kráľ Fridrich Veľký. Dvadsaťpäť rokov žil v Berlíne, kde napísal viac ako 380 článkov a vydal dve diela, ktoré ho najviac preslávili: Introductio in analysin infinitorum, text o funkciách publikovaný v roku 1748 a Institutiones calculi differentialis, text o diferenciálnom počte publikovaný v roku 1755.

Okrem toho bol Euler požiadaný, aby sa stal súkromným učiteľom Fridrichovej netere, princeznej z Anhalt-Dessau. Euler jej napísal vyše 200 listov, ktoré boli neskôr zahrnuté v najpredávanejšom zväzku s názvom Eulerove listy o rôznych veciach v prírodnej filozofii adresované nemeckej princeznej. Táto práca obsahovala Eulerov výklad rôznych vecí vzťahujúcich sa na fyziku a matematiku a rovnako dobre ponúkala cenné pohľady na Eulerovu osobnosť a náboženské vyznanie. Táto kniha sa stala čítanejšou než ktorékoľvek iné z jeho matematických prác a bola publikovaná v celej Európe a v Spojených štátoch. Popularita týchto „Listov“ svedčí o Eulerovej schopnosti efektívne predniesť vedecké záležitosti laickému publiku, čo je zriedkavou schopnosťou výskumného vedca.

Napriek obrovskému prínosu k prestíži Akadémie, bol nakoniec Euler nútený Berlín opustiť. Bolo to čiastočne kvôli osobnému konfliktu s Fridrichom, ktorý začal na Eulera nazerať ako na nesofistikovaného a to najmä v porovnaní s filozofmi nemeckého kráľa, ktorí prišli na Akadémiu. Medzi tými, ktorí boli vo Fridrichových službách, bol aj Voltaire a tento Francúz zastával výsadné postavenie v kráľovskom spoločenskom okruhu. Euler, pracovitý a jednoduchý pobožný muž, bol veľmi konvenčný vo svojich názoroch a vkuse. V mnohých ohľadoch bol priamym opakom Voltaira. Euler nebol skúsený v rétorike. Mal sklon diskutovať o záležitostiach, o ktorých vedel len málo a kvôli tomu sa stal častým terčom Voltairových vtipov. Aj Fridrich vyjadril sklamanie nad Eulerovými schopnosťami z praktického inžinierstva:

„Chcel som mať v svojej záhrade vodnú trysku: Euler vypočítal silu kolies potrebnú na zvýšenie hladiny vody v nádrži, odkiaľ by mala znovu poklesnúť kanálmi a nakoniec vystrieknuť v Sanssouci. Moje zariadenie bolo skonštruované geometricky a nevedelo vytlačiť väčšie množstvo vody bližšie než na päťdesiat krokov (asi 74 m) k nádrži. Márnosť nad márnosť! Márnomyseľná geometria!“

Eulerov zrak sa zhoršoval počas celej jeho matematickej kariéry. Tri roky po prekonaní horúčky, ktorá ohrozila jeho život v roku 1735, takmer oslepol na pravé oko. Euler však za svoj stav obviňoval únavnú prácu na kartografii pre Petrohradskú akadémiu. Počas pobytu v Nemecku sa Eulerov zrak zhoršil natoľko, že ho Fridrich nazýval kyklopom. V roku 1766 dostal Euler šedý zákal na zdravé ľavé oko, kvôli čomu o niekoľko týždňov takmer úplne oslepol. Zdalo sa, že jeho stav má len malý vplyv na jeho produktivitu, kompenzoval to svojou schopnosťou počítať spamäti a fotografickou pamäťou. Napríklad Euler bol schopný zopakovať Vergiliovu Eneidu od začiatku až do konca bez zaváhania a v každej strane vydania mohol označiť, ktorý riadok bol prvý a ktorý posledný. Eulerova produktivita v mnohých odboroch skutočne vzrástla a to najmä s pomocou jeho pisárov. V roku 1775 vyprodukoval v priemere jeden matematický článok za týždeň.

S nástupom Kataríny Veľkej na trón sa situácia v Rusku výrazne zlepšila. V roku 1766 prijal Euler pozvanie na návrat na Petrohradskú akadémiu a zvyšok života strávil v Rusku. Jeho druhý pobyt v krajine bol poznačený tragédiou. Pri požiari v Petrohrade v roku 1771 prišiel o dom a takmer aj o život. V roku 1773 stratil po 40 rokoch manželstva svoju manželku. Tri roky po jej smrti sa oženil s jej nevlastnou sestrou. Toto manželstvo trvalo až do jeho smrti.

V Petrohrade, dňa 18. septembra 1783, zomrel Euler na krvácanie do mozgu a bol pochovaný so svojou manželkou na Smolenskom evanjelickom cintoríne na Vasilevského ostrove (po prenesení Eulerových pozostatkov do ortodoxného Kláštora Alexandra Nevského sovieti tento cintorín zničili). Pohrebný chválospev pre Francúzsku Akadémiu naň napísal francúzsky matematik a filozof markíz de Condorcet a správu o jeho živote spolu so zoznamom diel spísal Nikolaus von Fuss, Eulerov zať a tajomník Petrohradskej akadémie. De Condorcet poznamenal,

„…il cessa de calculer et de vivre – … prestal rátať a žiť.“

Euler zaviedol a popularizoval niekoľko konvencií v označovaní vo svojich početných a široko kolujúcich učebniciach. Predovšetkým zaviedol pojem funkcie a ako prvý začal písať f(x), čo označuje funkciu f aplikovanú na argument x. Taktiež zaviedol moderné označovanie trigonometrických funkcií, písmeno e pre základ prirodzeného logaritmu (teraz tiež známe aj ako Eulerovo číslo), grécke písmeno Σ pre sčitovanie a písmeno i pre označenie imaginárnej jednotky. Euler propagoval aj používanie gréckeho písmena π na označenie pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru aj napriek tomu, že nepochádzalo od neho.

Vývoj diferenciálneho a integrálneho počtu bol v popredí matematického bádania 18. storočia a Bernoulliovci, rodinní priatelia Eulera, boli zodpovední za veľkú časť skorého pokroku v tejto oblasti. Vďaka ich vplyvu sa štúdium diferenciálneho a integrálneho počtu stalo hlavným zameraním Eulerovej práce. Hoci niektoré Eulerove dôkazy nie sú prijateľné podľa moderných noriem matematickej presnosti, jeho myšlienky viedli k veľkému pokroku v mnohých oblastiach. Euler je dobre známy v analýze pre jeho využívanie rozvoja mocninových radov, vyjadrenie funkcií ako súčtu nekonečného množstva výrazov, ako napríklad

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}$.

Euler objavil rozvoj mocninových radov pre e a pre funkciu inverznú k funkcii tangens. Jeho odvážne (a podľa moderných noriem technicky nesprávne) použitie mocninových radov, mu umožnilo vyriešiť slávny Bazilejský problém v roku 1735:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+...+{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

Euler zaviedol používanie exponenciálnej funkcie a logaritmov v analytických dôkazoch. Objavil spôsoby, ako vyjadriť rôzne logaritmické funkcie použitím mocninových radov, definoval logaritmy pre záporné a komplexné čísla, čo značne rozšírilo oblasť matematickej aplikácie logaritmov. Definoval exponenciálnu funkciu pre komplexné čísla a objavil jej vzťah ku trigonometrickým funkciám. Eulerov vzorec hovorí, že komplexná exponenciálna funkcia spĺňa pre ľubovoľné reálne číslo φ vzťah

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$.

Špeciálny prípad vyššie uvedeného vzorca je známy ako Eulerova identita,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$,

nazvaný Richardom Feynmanom „najpozoruhodnejším vzorcom v matematike”, pre jeho jedinečné použitie sčítania, násobenia, umocňovania a rovnosti, ako aj jedinečné použitie dôležitých konštánt 0, 1, e, i a π. Čitatelia časopisu Mathematical Intelligencer v roku 1988 hlasovali za „najkrajší matematický vzorec“. Euler bol autorom celkom troch z piatich najvyššie umiestnených vzorcov v tejto ankete.

De Moivreov vzorec je priamym dôsledkom Eulerovho vzorca.

Euler spracoval teóriu vyšších transcendentných funkcií zavedením gama funkcie a zaviedol aj novú metódu pre riešenie rovníc štvrtého stupňa. Našiel aj spôsob ako počítať integrály s komplexnými hranicami predznačujúc vývoj modernej komplexnej analýzy a vynašiel variačný počet vrátane jeho najznámejšieho výsledku, Eulerovej-Lagrangeovej rovnice.

Euler bol priekopníkom v používaní analytických metód na riešenie problémov v teórii čísel. Spojil dve rozličné odvetvia matematiky a zaviedol nový odbor štúdia, analytickú teóriu čísel. Prelomom do tohto nového odboru bola Eulerom vytvorená teória hypergeometrických radov, q-radov, hyperbolických trigonometrických funkcií a analytickej teórie reťazových zlomkov. Napríklad využitím divergencie harmonických radov dokázal nekonečnosť množstva prvočísel a použil analytické metódy na to, aby dosiahol isté porozumenie rozmiestnenia prvočísel. Eulerova práca v tejto oblasti viedla k prvočíselnej vete.

Eulerov záujem o teóriu čísel možno pripísať vplyvu Christiana Goldbacha, priateľa z Petrohradskej akadémie. Mnohé z Eulerových raných prác v teórii čísel bolo založených na prácach Pierra Fermata. Euler niektoré Fermatove myšlienky rozvinul a niektoré jeho hypotézy vyvrátil.

Euler prepojil podstatu rozmiestnenia prvočísel s myšlienkami z analýzy. Dokázal, že súčet recipročných čísel k prvočíslam diverguje. Zároveň objavil vzťah medzi Riemannovou zeta funkciou a prvočíslami; známy ako Eulerov súčinový vzorec pre Riemannovu zeta funkciu.

Euler dokázal Newtonove rovnosti (známe tiež ako Newtonove-Girardove vzorce), Malú Fermatovu vetu, Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov a prispel k Lagrangovej vete o štyroch štvorcoch. Zaviedol aj funkciu φ(n), ktorá označuje počet prirodzených čísel menších ako číslo n, ktoré sú nesúdeliteľné s číslom n. Využitím vlastností tejto funkcie zovšeobecnil Malú Fermatovu vetu na vetu, ktorá je známa ako Eulerova veta. Výrazne prispel k teórii dokonalých čísel, ktoré fascinovali matematikov od čias Euklida. Euler sa priblížil aj k prvočíselnej vete a predpokladal zákon reciprocity kvadratických zvyškov. Tieto dva fakty sú považované za základné vety teórie čísel a jeho myšlienky vydláždili cestu pre prácu Carla Friedricha Gaussa.

V roku 1772 Euler dokázal, že 2³¹ − 1 = 2 147 483 647 je Mersennovo prvočíslo. Až do roku 1867 bolo najväčším známym prvočíslom.

• Eulerova priamka
• Eulerova kružnica

V roku 1736 Euler vyriešil problém známy ako Sedem mostov Königsbergu. Pruské mesto Königsberg, bolo postavené na rieke Pregol a zahŕňalo dva veľké ostrovy, ktoré boli aj s pevninou navzájom poprepájané siedmimi mostmi. Problémom bolo rozhodnúť, či je možné sledovať cestu, ktorá prechádza každým mostom práve raz a vrátiť sa do východiskového bodu. Nedá sa: nie je tam Eulerova kružnica. Toto riešenie sa považuje za prvú vetu teórie grafov, konkrétne v teórii planárnych grafov.

Euler objavil vzorec V − E + F = 2, týkajúci sa počtu vrcholov, hrán a stien konvexného mnohostena, a teda rovinného grafu. Konštanta v tomto vzorci je teraz známa ako Eulerova charakteristika pre graf (alebo iný matematických objekt) a je spojená s rodom objektu. Štúdium a zovšeobecnenie tohto vzorca, konkrétne Cauchym a L'Huillierom, je na začiatku topológie.

Niektoré z Eulerových najväčších úspechov boli v analytickom riešení problémov zo života a v popisovaní početných aplikácií Bernoulliho čísel, Fourierovho radu, Vennových diagramov, Eulerových čísel, konštánt e a π, reťazových zlomkov a integrálov. Spojil Leibnizov diferenciálny počet s Newtonovou Metódou fluxií a vyvinul prostriedky, ktoré uľahčili zavedenie tohto počtu do problémov fyziky. Urobil veľký pokrok vo vylepšovaní numerickej aproximácie integrálov, vynašiel aproximácie, ktoré sú teraz známe ako Eulerove aproximácie. Najpozoruhodnejšími z týchto aproximácií sú Eulerova metóda a Eulerov-Maclaurinov vzorec. Taktiež uľahčil použitie diferenciálnych rovníc predovšetkým zavedením Eulerovej-Mascheroniho konštanty:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)}$.

Jedným z ďalších nezvyčajných záujmov Eulera, bola aplikácia matematických myšlienok v hudbe. V roku 1739 napísal Tentamen novae theoriae musicae, dúfajúc, že napokon zahrnie hudobnú teóriu ako súčasť matematiky. Táto časť jeho práce však nezískala širokú pozornosť a bola charakterizovaná ako príliš matematická pre hudobníkov a príliš muzikálna pre matematikov.

Euler pomohol rozvinúť Eulerovo-Bernoulliho rovnicu nosníka, ktorá sa stala základným kameňom inžinierstva. Okrem úspešného aplikovania svojich analytických nástrojov do problémov v klasickej mechanike Euler taktiež aplikoval tieto techniky na astronomické problémy. Jeho práca v astronómii bola uznaná množstvom cien Parížskej Akadémie. Medzi jeho úspechy patrí určenie obežných dráh komét a iných nebeských telies s veľkou presnosťou, pochopenie povahy komét a výpočet paralaxy Slnka. Jeho výpočty prispeli k rozvoju dĺžkových tabuliek.

Euler významne prispel do optiky. Nesúhlasil s Newtonovou korpuskulárnou teóriou svetla v Optike, ktorá bola najskôr prevládajúcou teóriou. Jeho články z roku 1740 o optike napomohli tomu, že vlnová teória svetla navrhnutá Christianom Huygensom sa stala dominantným spôsobom zmýšľania do doby rozvinutia kvantovej teórie svetla.

Použitím uzavretých kriviek prispel k ilustrácii sylogistického zdôvodňovania (1768). Tieto diagramy sa stali známe ako Eulerove diagramy.