Zobrazenie (matematika)

Pojem viacznačné zobrazenie/viacznačná funkcia nie je (napriek svojmu názvu) nikdy zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem parciálna funkcia takisto (napriek svojmu názvu) nie je nevyhnutne zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem (len) "zobrazenie" sa však ojedinele definuje tak, že zahŕňa aj parciálne funkcie.

Pojem jednoznačné zobrazenie je "opačný" pojem k pojmu viacznačné zobrazenie. Pojem totálna funkcia je "opačný" pojem k pojmu parciálna funkcia.

Z historických dôvodov sa hovorí v niektorých prípadoch zobrazeniam (hlavne, ak je definičný obor karteziánska mocina) operácie (napr. hovoríme o operácii sčítania či násobenia).

V minulosti mali viacerí známi matematici svoju vlastnú definíciu funkcie (vždy síce podobnú vyššie uvedenej ale odlišnú).

Výraz funkcia (totálna funkcia) v užšom zmysle je taká funkcia v širšom zmysle, u ktorej je B množinou čísiel (podľa iných zdrojov musí byť navyše A množina čísiel či skupín (usporiadaných n-tíc) čísiel).

Pojem zobrazenie patrí medzi najzákladnejšie v matematike. Pôvodne vznikol ako abstrakcia vzťahov a pozorovaných zákonitostí v prírodných vedách (napr. veľkosť gravitačnej sily, ktorou je priťahované teleso k inému telesu, závisí od ich hmotností; počet jedincov za určitých podmienok je závislý od času a i.).

Zobrazenie (funkcia) ${\displaystyle \varphi }$ z množiny A do množiny B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu ${\displaystyle A\times B}$, ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:

• ${\displaystyle \forall a\in A\exists b\in B:(a,b)\in \varphi }$,
• ${\displaystyle \forall a\in A,\forall b_{1},b_{2}\in B}$ ak${\displaystyle (a,b_{1})\in \varphi ,(a,b_{2})\in \varphi }$, potom ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$.

Prvá vlastnosť hovorí, že každému prvku množiny A musí zobrazenie ${\displaystyle \varphi }$ priradiť aspoň jeden prvok množiny B, kým druhá hovorí, že ho môže priradiť najviac jeden. Inými slovami, zobrazenie priradí každému prvku množiny A práve jeden prvok množiny B.

Množine A hovoríme definičný obor (alebo len obor, niekedy aj doména), množine B koobor (alebo kodoména).

Obor hodnôt zobrazenia ${\displaystyle \varphi }$ je množina všetkých takých prvkov množiny B na ktoré sa v zobrazení ${\displaystyle \varphi }$ zobrazuje nejaký prvok množiny A.

Ak označíme danú funkciu napr. f, tak číslo, ktoré funkcia f priraďuje prvku z A, sa nazýva hodnota funkcie f v bode a a zapisuje sa f(a).

Fakt, že ${\displaystyle (a,b)\in \varphi }$, často označujeme buď tzv. prefixovým zápisom: ${\displaystyle \varphi (a)=b}$ alebo postfixovým zápisom: ${\displaystyle a\varphi =b}$. Druhá forma sa používa hlavne v algebre.

V prípade, že zobrazenie nazývame operácia (pozri vyššie), nazývame symboly označujúce operáciu operátory. Pri binárnych operáciach používame najčastejšie na zápis poznatku ${\displaystyle ((a_{1},a_{2}),b)\in \varphi }$ tzv. infixový zápis: ${\displaystyle a_{1}\varphi a_{2}=b}$.

• Konštantná funkcia
• Lineárna funkcia
• Kvadratická funkcia
• Mocninná funkcia
• Racionálna funkcia
• Polynomická funkcia
• Racionálna lomená funkcia
• Goniometrická funkcia
• Exponenciálna funkcia
• Logaritmická funkcia
• Hyperbolická funkcia

• http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Zobrazenie