Gama funkcia

Funkciu definovanú pre ${\displaystyle x>0}$ nasledovným predpisom:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Gamma (x)=\operatorname {\int } \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\end{array}}}$

nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).

Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti ${\displaystyle {\text{Re}}z>0}$. Gamma funkcia má rozšírenie do komplexnej roviny pomocou analytického predĺženia. Potom je definovaná v každom komplexnom čísle okrem ${\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}}$, kde má póly.

V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:

${\displaystyle \Gamma (-2)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (-1)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (0)\,}$	(nedefinované)
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$
${\displaystyle \Gamma (1)\,}$	${\displaystyle =0!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (2)\,}$	${\displaystyle =1!=1\,}$
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (3)\,}$	${\displaystyle =2!=2\,}$
${\displaystyle \Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,}$
${\displaystyle \Gamma (4)\,}$	${\displaystyle =3!=6\,}$
${\displaystyle \lim _{z\to 0+}\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$
${\displaystyle \lim _{z\to +\infty }\Gamma (z)\,}$	${\displaystyle =+\infty \,}$

• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Gama funkce na českej Wikipédii.