Prvočíslo

• Ak p je prvočíslo a p delí súčin čísel a a b, potom p delí a alebo p delí b.
• Ak p je prvočíslo a a je ľubovoľné celé číslo, potom je a^p − a deliteľné p. (Malá Fermatova veta).
• Ak n je kladné celé číslo, existuje prvočíslo p také, že platí n < p ≤ 2n. (Bertrandov postulát)
• Pre každé prvočíslo p > 2 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 4n ± 1.
• Pre každé prvočíslo p > 3 existuje prirodzené číslo n také, že platí p = 6n ± 1.
• Ak p je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/p má v desiatkovej číselnej sústave nekonečný desatinný rozvoj.
• Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné delitele sa nazýva faktorizácia. Napr. 24 = 2³ ⋅ 3.
• Ak p je prvočíslo a G je grupa s pn prvkami, potom G obsahuje prvok rádu p.
• Ak G je konečná grupa a pⁿ je najvyššia mocnina prvočísla p, ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G podgrupu rádu pⁿ.
• Okruh Z/nZ je teleso, práve vtedy, keď n je prvočíslo. Inak povedané: n je prvočíslo, práve vtedy keď φ(n) = n − 1.
• Prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz sporom: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich p₁, p₂, …, p_n. Potom číslo x = p₁ · p₂ ··· p_n + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení ľubovoľným z nich dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo x je buď prvočíslo, alebo je deliteľné nejakým iným prvočíslom, ktoré nebolo medzi p₁...p_n. To znamená, že množina prvočísel p₁...p_n nebola úplná, čo je spor s predpokladom.
• Množina prvočísel je spočítateľná.
• Množina všetkých prvočísel spolu s reláciou deliteľnosti je príkladom spočítateľného protireťazca.
• Množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovoľnej dĺžky. Toto tvrdenie predstavovalo mnoho rokov odolávajúcu hypotézu. V roku 2004 ju pozitívne zodpovedali Ben Green a Terence Tao.[1]

Istou skupinou prvočísel sú takzvané Mersennove prvočísla. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2^p-1, kde p je tiež prvočíslo. Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3=2²-1 alebo 7=2³-1. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených pomerne málo, presne 51. Zatiaľ posledné bolo objavené 21. decembra 2018 a skladá sa z 24 862 048 číslic. Toto číslo je zároveň najvyšším známym prvočíslom. Je výsledkom 2^{82 589 933}-1.[2]

Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne algoritmy, napr. Eratostenovo sito.

Veľký praktický význam majú prvočísla v kryptológii.

• www.prime-numbers.org – Prvočísla do 10 miliárd
• www.perhac.com – Prvočísla do 100 miliónov (slovenská stránka)