Spojité zobrazení

Spojitost je přirozená a očekávatelná vlastnost zobrazení. Pro reálné funkce spojitost znamená, že graf funkce neobsahuje ostré skoky a vypadá jako souvislá křivka. Pojem lze definovat na metrických prostorech, tedy na množinách, na kterých je možné měřit "vzdálenosti". Jedná se tedy například o množiny bodů v rovině, anebo také nějakou množinu funkcí. V metrických prostorech spojitost znamená, že pokud se nějaký bod blíží jinému bodu, blíží se k sobě i obrazy.

Metrickou definici lze zobecnit na topologické prostory, tj. na ještě širší skupinu množin, než jsou metrické prostory. V topologii je spojitost definována tak, že množiny zachovávají některé své topologické vlastnosti. Spojité zobrazení například převádí souvislé množiny na souvislé, kompaktní na kompaktní a vzor otevřené množiny je otevřená množina. Tyto různé definice spojitosti jsou vzájemně kompatibilní.

• Složení spojitých zobrazení je opět spojité zobrazení.
• Spojité zobrazení zachovává kompaktní množiny. Proto i složení ${\displaystyle f\circ g:X\rightarrow Z}$ spojitého zobrazení ${\displaystyle f:Y\rightarrow Z}$ s kompaktním zobrazením ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ je zobrazení kompaktní.

• Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel jsou spojitá zobrazení (z "dvojic" čísel do čísel).
• Mapa zobrazující část krajiny se dá chápat jako spojité zobrazení. Tento koncept je formalizován v definici variety. Varieta je zadána pomocí atlasu, který pozůstává ze spojitých map.
• Projekce topologického vektorového prostoru na nějaký podprostor je spojité zobrazení.
• Lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru je spojitá.
• Polynomiální funkce je spojité zobrazení. Podobně zobrazení z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, kterého každá složka je polynomiální funkce.
• Křivka je spojité zobrazení z úsečky do nějakého topologického prostoru.
• Skalární součin je spojité zobrazení z dvojic vektorů do čísel.
• Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$, která racionálním číslům přiřadí nulu a iracionálním jednotku, je nespojitá.
• Evoluční operátor v kvantové fyzice (popisuje vývoj fyzikálního systému v čase) je spojité zobrazení.
• Násobení v Lieově grupě je spojité.
• Každé zobrazení z diskrétního prostoru do libovolného metrického prostoru je spojité [pozn 1].
• Mějme X prostor spojitých reálných funkcí na intervalu ${\displaystyle \scriptstyle \left\langle 0,\,1\right\rangle }$ spolu se supremovou normou (||f||:=sup |f(x)|) a nechť K(x,t) je spojitá funkce. Definujme ${\displaystyle \scriptstyle A:\,X\to X,\ (Ax)(t)=\int _{0}^{1}K(t,\,s)x(s)ds}$. Pak ${\displaystyle \scriptstyle A\,}$ je spojité zobrazení v ${\displaystyle \scriptstyle \ C\left(\left\langle 0,\,1\right\rangle \right)}$.
• Příkladem spojitého zobrazení na topologickém prostoru, který není metrizovatelný, je funkce ${\displaystyle \aleph }$, která ordinálnímu číslu ${\displaystyle \alpha }$ přiřadí ${\displaystyle \alpha }$-tou nejmenší nekonečnou mohutnost. Jedná se o zobrazení na vlastní třídě, ovšem pro každé ordinální číslo ${\displaystyle \beta }$ (které je zároveň množinou ordinálních čísel) je restrikce této funkce na ${\displaystyle \beta }$ spojitým [pozn 2] zobrazením z ${\displaystyle \beta }$ do obrazu ${\displaystyle \aleph [\beta ]}$.
• Lineární zobrazení nekonečně rozměrného vektorového prostoru může, ale také nemusí být spojité. Nechť ${\displaystyle X=C^{\infty }(\langle 0,1\rangle )}$ je prostor hladkých funkcí spolu s maximovou normou ||f||=sup |f(x)|. Pak derivace ${\displaystyle D:X\to X}$ je lineární nespojité zobrazení. [pozn 3].