Evoluční operátor

Evoluční operátor v kvantové teorii určuje časový vývoj systému. Jeho tvar je dán tím, jaký má systém hamiltonián. Operátor určuje vývoj stavů, což lze zapsat jako

${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$.

Evoluční operátor je určen Schrödingerovou rovnicí:

${\displaystyle {\frac {dU(t,t_{0})}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H(t)}}{\hat {U(t,t_{0})}}}$

Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase, lze rovnici formálně řešit, platí:

${\displaystyle U(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})\right)}$

Pro evoluční operátor platí:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {U}}(t,t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t)=1}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=U^{-1}(t_{0},t)}$

Dále je evoluční operátor operátorem unitárním, neboť nemění velikost normy vektoru, tedy

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0}){\hat {U}}^{+}(t,t_{0})=1}$

Výpočet evolučního operátoru je obecně nesnadnou záležitostí, známe-li však vlastní čísla ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ a vlastní vektory ${\displaystyle \psi _{i}}$ časově nezávislého hamiltoniánu, pak je evoluční operátor dán jako:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{i}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\epsilon _{i}(t-t_{0})\right)|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

Kde platí

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{i}\rangle =\epsilon _{i}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$

${\displaystyle \sum _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|=1}$