Funkce alef

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

• Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem ${\displaystyle \omega }$, proto platí ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega \,\!}$
• Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně, ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \aleph _{0}\,\!}$.
• ${\displaystyle \aleph _{2}\,\!}$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$ atd.
• Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je ${\displaystyle \omega _{0}\,\!}$. Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce ${\displaystyle \aleph \,\!}$ řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}}}$ jako supremum všech předchozích hodnot, tedy ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}}=\bigcup _{\alpha <\omega _{0}}\aleph _{\alpha }\,\!}$.
• ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+1}\,\!}$ pak bude nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}}\,\!}$. Podobně se definuje ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+2}\,\!}$ atd.
• ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+\omega _{0}}\,\!}$ pak bude supremum posloupnosti ${\displaystyle \aleph _{\omega _{0}+1},\aleph _{\omega _{0}+2},\dots \,\!}$
• Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Funkcí ${\displaystyle \aleph \,\!}$ rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky (věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

• ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega _{0}\,\!}$
• Pro každé ordinální číslo ${\displaystyle \alpha }$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}\,\!}$ rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$
• Pro každé limitní ordinální číslo ${\displaystyle \alpha }$ je ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\aleph _{\beta }\,\!}$

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako ${\displaystyle \alpha +1\,\!}$, právě když není limitní a není to 0.

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením „reálná čísla mají mohutnost ${\displaystyle \aleph _{1}\,\!}$“.