Kompaktní množina

• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený.
• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když pro libovolnou posloupnost ${\displaystyle \{F_{n}\}}$ neprázdných uzavřených množin, splňující ${\displaystyle F_{n+1}\subset F_{n}}$ pro všechna přirozená ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }F_{n}\neq \emptyset }$. Viz Cantorova věta o průniku kompaktů.

• prázdná množina
• libovolný konečný topologický prostor
• Cantorova množina
• pokud a a b jsou reálná čísla, je interval [a, b] kompaktní množinou v množině reálných čísel.
• uzavřená jednotková koule v konečnědimenzionálním normovaném vektorovém prostoru

• Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel nabývá svého maxima i minima.
• Každá spojitá funkce z kompaktního metrického prostoru do prostoru reálných čísel je omezená.
• Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřená.
• Uzavřená podmnožina kompaktního prostoru je kompaktním prostorem.
• Při spojitém zobrazení je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina.
• Každá spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Viz Cantorova-Heineova věta.
• Konečné sjednocení kompaktních prostorů je kompaktní.
• Platí Tichonovova věta: kartézský součin libovolné množiny kompaktů je kompaktní (v součinové topologii).
• Kompaktní metrický prostor je separabilní.
• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá posloupnost má konvergentní podposloupnost.
• Nechť ${\displaystyle P}$ je kompaktní metrický prostor, ${\displaystyle Q}$ je metrický prostor a ${\displaystyle f:P\to Q}$ je spojitá bijekce. Potom ${\displaystyle f}$ je homeomorfismus.

Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu Lieových grup a jejich reprezentací. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup.

• Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup, případně jejich konečná nakrytí a součiny s kružnicí).
• Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní míra, tzv. Haarova míra, díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování.
• Všechny ireducibilní reprezentace kompaktní Lieovy grupy jsou konečněrozměrné a unitarizovatelné
• Každá reprezentace kompaktní Lieovy grupy se rozpadá na direktní součet konečně rozměrných reprezentací
• Maticové koeficienty těchto reprezentací tvoří ortonormální bázi ${\displaystyle L^{2}}$-funkcí na dané grupě, což umožňuje zobecnit harmonickou analýzu na nekomutativní kompaktní grupy (viz též Peter-Weylova věta).

Klasifikace obecných souvislých kompaktních variet není známa. Kompaktní varieta v dimenzi 1 je pouze kružnice. V dimenzi 2 jsou to orientovatelné anebo neorientovatelné plochy charakterizovány navíc jedním přirozeným číslem (genus). V dimenzi 3 byla v roce 2002 dokázána tzv. Poincarého hypotéza: každá kompaktní souvislá jednoduše souvislá 3-varieta je homeomorfní 3-sféře.

• Topology, John Gilbert Hocking, Gail S. Young, Courier Dover Publications, 1988
• General topology, John L. Kelley, Birkhäuser, 1975, kapitola 5
• Elementary Topology and Applications, Carlos R. Borges, World Scientific Publishing Company (2001), kapitola 3

• Topologie

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kompaktní množina na Wikimedia Commons