Zobrazení (matematika)

Zobrazení v množině[1]

Zobrazení v množině ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je takové zobrazení ${\displaystyle f\,\!}$ z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, pro které ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení množiny do množiny[1][2]

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$. Žlutý ovál uvnitř ${\displaystyle Y}$ je obor hodnot.

Zobrazení množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ je takové zobrazení ${\displaystyle f\,\!}$ z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, pro které ${\displaystyle D(f)={\mathcal {A}}}$. Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ existuje (právě jeden) takový prvek ${\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}$, že ${\displaystyle y=f(x)\,\!}$.

Značí se: ${\displaystyle f:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

Zobrazení z množiny na množinu[1]

Zobrazení z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ na množinu ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ neboli surjektivní zobrazení (surjekce) je takové zobrazení ${\displaystyle f\,\!}$ z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, pro které ${\displaystyle H(f)={\mathcal {B}}}$. Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku ${\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}$ existuje aspoň jeden takový prvek ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$, že ${\displaystyle f(x)=y\,\!}$.

Zobrazení množiny na množinu[1][2]

Zobrazení množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ na množinu ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ je takové zobrazení ${\displaystyle f\,\!}$ z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, pro které ${\displaystyle D(f)={\mathcal {A}}\land H(f)={\mathcal {B}}}$. Tedy ke každému prvku ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ existuje právě jeden takový prvek ${\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}$, že ${\displaystyle y=f(x)\,\!}$, a ke každému prvku ${\displaystyle y'\in {\mathcal {B}}}$ existuje aspoň jeden takový prvek ${\displaystyle x'\in {\mathcal {A}}}$, že ${\displaystyle f(x')=y'\,\!}$.

Zobrazení na množině[1]

Zobrazení na množině ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je takové zobrazení ${\displaystyle f\,\!}$ množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ na množinu ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, pro které ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Prosté zobrazení[1][2]

Zobrazení f z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se nazývá prosté neboli injektivní zobrazení (injekce), právě když každé dva různé vzory ${\displaystyle x_{1},x_{2}\ \in D(f)}$ mají různé obrazy ${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2})\in H(f)\,\!}$:

${\displaystyle \forall [x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}]\in f:x_{1}\neq x_{2}\ \Rightarrow \ y_{1}\neq y_{2}}$

Vzájemně jednoznačné zobrazení[1]

Vzájemně jednoznačné zobrazení množin ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ neboli bijektivní zobrazení (bijekce) je prostým zobrazením množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ na množinu ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, je tedy injektivní a surjektivní zároveň.

Značí se: ${\displaystyle f:{\mathcal {A}}\leftrightarrow {\mathcal {B}}}$

Inverzní zobrazení[1][2]

Je-li ${\displaystyle f\,\!}$ prosté zobrazení z množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, pak zobrazení ${\displaystyle f^{-1}\,\!}$ z množiny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ do množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, které každému ${\displaystyle y\in H(f)\,\!}$ přiřazuje ten prvek ${\displaystyle f^{-1}(y)=x\in D(f)\,\!}$, pro nějž ${\displaystyle y=f(x)\,\!}$, se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení ${\displaystyle f\,\!}$. Jeho definičním oborem je tedy ${\displaystyle D(f^{-1})=H(f)\,\!}$ a platí ${\displaystyle f^{-1}(y)=x\Leftrightarrow f(x)=y}$.

Například:

• Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
• Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
• Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
• Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
• Operátor - funkci přiřazuje funkci.
• Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Například:

• Totožnost (identita) - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
• Spojité zobrazení - k blízkým vzorům přiřazuje blízké obrazy.
• Lineární zobrazení - platí pro něj ${\displaystyle L(\alpha x+\beta y)=\alpha L(x)+\beta L(y)}$, kde ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ jsou prvky daného tělesa a ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
• Konformní zobrazení - spojité zobrazení, které zachovává úhly.