Operátor

Lineární operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je takový operátor, pro který platí

${\displaystyle {\hat {A}}{\bigl (}\sum _{i}c_{i}f_{i}{\bigr )}=\sum _{i}c_{i}({\hat {A}}f_{i})}$

kde ${\displaystyle f_{i}}$ jsou libovolné funkce a ${\displaystyle c_{i}}$ jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ a libovolné vektory ${\displaystyle f_{1},f_{2},g_{1},g_{2}}$ takové, že ${\displaystyle g_{1}={\hat {A}}f_{1}}$ a ${\displaystyle g_{2}={\hat {A}}f_{2}}$, pak platí

${\displaystyle {\hat {A}}(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})=c_{1}{\hat {A}}f_{1}+c_{2}{\hat {A}}f_{2}=c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}}$

Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.

Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:

1) ${\displaystyle {\hat {A}}}$(x+y) = ${\displaystyle {\hat {A}}}$(x) + ${\displaystyle {\hat {A}}}$(y),

2) ${\displaystyle {\hat {A}}}$(cx) = c ${\displaystyle {\hat {A}}}$(x), kde c je konstanta.

Lineárním operátorem ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je například limita, když x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.

Operátor se označuje jako antilineární, jestliže platí

${\displaystyle {\hat {A}}\sum _{i}c_{i}f_{i}=\sum _{i}c_{i}^{*}{\hat {A}}f_{i}}$,

kde ${\displaystyle f_{i}}$ jsou libovolné funkce a ${\displaystyle c_{i}^{*}}$ jsou koeficienty komplexně sdružené k ${\displaystyle c_{i}}$.

Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) ${\displaystyle {\hat {I}}}$, pro který platí

${\displaystyle {\hat {I}}f=f}$

Působením operátoru identity ${\displaystyle {\hat {I}}}$ tedy nedochází k žádné změně.

Pokud pro dva operátory ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ z X do Y platí ${\displaystyle {\hat {A}}f={\hat {B}}f}$ pro každé ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$, pak jsou oba operátory totožné.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se nazývá spojitý v bodě ${\displaystyle f_{0}\in \mathbf {X} }$, jestliže pro každou posloupnost prvků ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ z ${\displaystyle \mathbf {X} }$, pro kterou v prostoru ${\displaystyle \mathbf {X} }$ platí ${\displaystyle f_{n}\to f_{0}}$, platí také ${\displaystyle {\hat {A}}f_{n}\to {\hat {A}}f_{0}}$, tzn. ${\displaystyle g_{n}\to g_{0}}$, v prostoru ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě ${\displaystyle f_{1}\in \mathbf {X} }$, je spojitý v každém bodě ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je ohraničený (omezený) operátorem tehdy, jestliže existuje takové ${\displaystyle \mu >0}$ (nezávislé na f), že pro každé ${\displaystyle f\in \mathbf {X} }$ platí

${\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }\leq \mu {\|f\|}_{\mathbf {X} }}$,

kde ${\displaystyle {\|f\|}_{\mathbf {X} }}$ je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a ${\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}$ je norma prvku ${\displaystyle {\hat {A}}f}$ v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel ${\displaystyle \mu }$ operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ představuje normu operátoru ${\displaystyle \|{\hat {A}}\|}$, tzn.

${\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\inf \mu }$

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel ${\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}$ pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

${\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\sup _{{\|f\|}_{\mathbf {X} }=1,f\in \mathbf {X} }{\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}$

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se označuje jako symetrický, jestliže platí

${\displaystyle \langle f|{\hat {A}}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }$

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor se označuje jako hermiteovský.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se označuje jako antihermiteovský, je-li operátor ${\displaystyle \mathrm {i} {\hat {A}}}$ hermiteovský.

K operátoru ${\displaystyle {\hat {A}}}$ existuje sdružený operátor ${\displaystyle {\hat {A}}^{+}}$, který splňuje vztah

${\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }$

neboli

${\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle ={\langle g|{\hat {A}}f\rangle }^{*}}$

Platí vztahy

${\displaystyle \|{\hat {A}}^{+}\|=\|{\hat {A}}\|}$

${\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{+}={\hat {A}}}$

${\displaystyle {({\hat {A}}+{\hat {B}})}^{+}={\hat {A}}^{+}+{\hat {B}}^{+}}$

${\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{+}={\hat {B}}^{+}{\hat {A}}^{+}}$

${\displaystyle {(\lambda {\hat {A}})}^{+}=\lambda ^{*}{\hat {A}}^{+}}$

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

${\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}$

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je pozitivní, když pro každé ${\displaystyle |u\rangle }$ platí

${\displaystyle \langle u|{\hat {A}}|u\rangle \geq 0}$

Operátor se označuje jako normální, když platí

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0}$,

kde ${\displaystyle [,]}$ označují komutátor.

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$ je inverzním operátorem k ${\displaystyle {\hat {A}}}$, pokud platí

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$,

kde ${\displaystyle {\hat {I}}}$ představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

${\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{-1}={({\hat {A}}^{-1})}^{+}}$

Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je unitární, pokud platí

${\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}^{-1}}$

neboli

${\displaystyle {\hat {A}}^{+}{\hat {A}}={\hat {A}}{\hat {A}}^{+}={\hat {I}}}$,

kde ${\displaystyle {\hat {I}}}$ je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ platí

${\displaystyle \langle {\hat {A}}u|{\hat {A}}v\rangle =\langle u|v\rangle }$

Jestliže operátor ${\displaystyle {\hat {M}}}$ splňuje vztah

${\displaystyle \langle {\hat {M}}u|{\hat {M}}v\rangle =\langle u|v\rangle }$,

pak operátor ${\displaystyle {\hat {M}}}$ označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah ${\displaystyle {\hat {M}}^{+}{\hat {M}}={\hat {I}}}$, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být ${\displaystyle {\hat {M}}{\hat {M}}^{+}\neq {\hat {I}}}$.

Omezený operátor ${\displaystyle {\hat {E}}}$ se označuje jako projekční, splňuje-li podmínky

${\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}^{+}={\hat {E}}^{2}}$

Je-li ${\displaystyle {\hat {E}}}$ projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

${\displaystyle {\hat {E}}^{\prime }={\hat {I}}-{\hat {E}}}$,

kde ${\displaystyle {\hat {I}}}$ představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

${\displaystyle {\hat {E}}+{\hat {E}}^{\prime }={\hat {I}}}$

${\displaystyle {\hat {E}}{\hat {E}}^{\prime }=0}$

Je-li ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ lze vyjádřit jako

${\displaystyle {\hat {E}}_{k}=|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$

Jestliže množina vektorů ${\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}}$ tvoří ortonormální bázi podprostoru ${\displaystyle H_{1}}$, pak projekční operátor do ${\displaystyle H_{1}\subset H}$ vyjádříme jako

${\displaystyle \sum _{k}{\hat {E}}_{k}=\sum _{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$

Pokud je ${\displaystyle H_{1}=H}$, pak je projekční operátor operátorem identity, takže

${\displaystyle \sum _{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|={\hat {I}}}$

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Arita jako pojem udává počet operandů daného operátoru:

1. unární - operátor s jedním operandem, například negace, ať aritmetická, logická či doplněk množiny (v rámci zamlčeného definičního oboru).
2. binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. Například: +-*^
3. ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je ternární operátor z programování.

Slovo "arita" pochází z latinského kořene adjektiva popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-ár(ní), bin-ár(ní), tern-ár(ní)...