Kvantové měření

Výsledky měření v kvantové fyzice závisejí na nastavení měřicího přístroje. První přístroj měří kombinaci barev, ze kterých lze namíchat zelenou, a dává tak dva možné výsledky, modrou anebo žlutou, se stejnou pravděpodobností 50 %. Druhý přístroj měří kombinaci barev, jež obsahuje přímo zelenou barvu. V tomto případě přístroj naměří zelenou barvu se 100% pravděpodobností. Pro podrobnosti viz text vlevo.

Pro ilustraci základních rozdílů mezi tím, jak je měření chápáno v klasické a kvantové fyzice, použijeme příkladu barevné kuličky. V klasické fyzice má kulička jednu konkrétní barvu. A to i když je kulička uložena v tmavé místnosti a my ji nevidíme, můžeme vždy říci, že kulička má nějakou pevně danou barvu. My pouze nevíme jakou. Pod pojmem měření rozumíme v klasické fyzice pouze to, že se podíváme na kuličku v osvětlené místnosti a tím zjistíme její barvu. Pokud bychom mohli kuličce pokládat otázky, odpovídalo by změření její barvy otázce: "Jakou máš barvu?"

Podobnou otázku v kvantové fyzice položit nelze. Místo toho se musíme ptát na konkrétní barvy. Možnými otázkami by tak mohlo být: "Jsi oranžová, zelená, anebo fialová?", "Jsi červená, žlutá, anebo modrá?", apod. Kvantové měření barevné kuličky by mohlo probíhat tak, že kuličku pošleme do měřicího přístroje a na tomto přístroji předem nastavíme, na jakou kombinaci barev má být citlivý, viz obrázek vpravo. Pokud si za kombinaci zvolíme trojici (modrá, červená, žlutá), pak je výsledkem měření jedna z těchto tří barev. Vždy přitom padne jen jedna z těchto tří možností, a to obecně bez ohledu na to, jakou barvu kulička přesně má. Kdyby měla kulička například barvu zelenou, jak je vyznačeno na obrázku, padl by s 50% pravděpodobností výsledek 'modrá' a s 50% pravděpodobností výsledek 'žlutá', protože zelenou barvu lze dostat smícháním stejného podílu modré a žluté barvy. Kdybychom si však za měřenou kombinaci barev zvolili trojici (oranžová, zelená, fialová), dostali bychom pro zelenou kuličku vždy výsledek 'zelená' a nikdy výsledky 'oranžová' či '̈́fialová'. Výsledky a pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot tedy závisejí na kombinaci barev, které si dopředu na svém přístroji navolíme. V terminologii kvantové fyziky bychom danou barevnou kombinaci nazvali pojmem báze. Jednotlivá měření kuličky pro různou volbu barevné kombinace bychom označili jako měření v různých bazích.

Ačkoli není dopředu jisté, jaký výsledek na kvantovém objektu naměříme, neznamená to, že získané výsledky jsou naprosto náhodné. Některé výsledky mohou být pravděpodobnější než jiné. Pokud stejné měření mnohokrát zopakujeme, můžeme z jednotlivých naměřených hodnot spočíst odpovídající průměr. Vyprůměrováním naměřených hodnot původní nejednoznačnost ve výsledku měření vymizí. Tyto průměry pak nesou užitečnou informaci o měřených fyzikálních veličinách.

Dalším rozdílem kvantového měření oproti tomu klasickému je fakt, že samotné měření mění stav měřeného systému. V případě zelené kuličky uvažované výše, kterou jsme poslali do přístroje měřícího kombinaci (modrá, červená, žlutá), bychom tak dostali z přístroje buď kuličku modrou (pokud by přístroj ukázal hodnotu 'modrá'), anebo kuličku žlutou (pokud by přístroj ukázal hodnotu 'žlutá'). Kdybychom nyní na tuto změněnou kuličku aplikovali tentýž přístroj, který měří tutéž kombinaci barev, k žádné další změně by už nedošlo. Pro modrou kuličku by přístroj naměřil hodnotu 'modrá' a vrátil by modrou kuličku. Pro žlutou kuličku by přístroj naměřil hodnotu 'žlutá' a vrátil by opět žlutou kuličku. V kvantové fyzice je tato vlastnost vyjádřena pomocí tak zvaných projektorů.

Co se stane, zvolíme-li si za kombinaci barev dvojici (červená, žlutá) a do přístroje pošleme modrou kuličku? Modrou barvu nelze dostat smícháním barev červené a žluté, znamená to tedy, že přístroj nenaměří nic? Ne, neznamená. Jednou z podmínek, které musí kvantové měření splňovat, je to, že navolená kombinace musí obsahovat barvy, s jejichž pomocí lze namíchat všechny barvy ostatní. Dvojice (červená, žlutá) tedy nepředstavuje dovolenou kombinaci barev. Díky této podmínce máme zaručeno, že náš přístroj vždy naměří jednu z předem zadaných barev. V terminologii kvantové fyziky se této podmínce říká relace úplnosti.

Vertikálně polarizovaný paprsek procházející polarizačním filtrem v popředí je tím více blokován, čím více je filtr natočený do horizontální polohy. Přesný vztah mezi intenzitou vstupního a výstupního paprsku je dán Malusovým zákonem.

Abychom motivovali definici projektivního měření uvedenou níže, představíme si v této sekci na velmi jednoduchém příkladu, jaké požadavky na měření klademe. Uvažme nejprve klasický paprsek světla, který posíláme skrz polarizační filtr. Filtr propustí jen tu část paprsku, která je lineárně polarizovaná podél jisté osy, viz animace napravo. Předpokládejme navíc, že onen vstupní paprsek je již lineárně polarizovaný, akorát podél jiné osy, než je osa filtru. Označíme-li si intenzitu vstupního paprsku symbolem ${\displaystyle I_{a}}$ a podobně intenzitu paprsku procházejícího filtrem symbolem ${\displaystyle I_{b}}$, lze jejich vztah vyjádřit následovně

${\displaystyle I_{b}=I_{a}\cos ^{2}(\varphi ),}$

kde ${\displaystyle \varphi }$ je vzájemné natočení os polarizace filtru a vstupního paprsku. Tento vztah byl objeven dávno před vznikem kvantové teorie a jmenuje se Malusův zákon. Polarizaci světla lze vyjádřit jednotkovým dvourozměrným vektorem ${\displaystyle {\vec {e}}}$, jenž směřuje ve směru polarizace. Pokud je polarizace vstupního paprsku určena vektorem ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$ a osa polarizačního filtru směřuje ve směru vektoru ${\displaystyle {\vec {e}}_{b}}$, lze Malusův zákon přepsat do tvaru

${\displaystyle I_{b}=I_{a}({\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{b})^{2},}$

kde ${\displaystyle ({\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{b})}$ je skalární součin vektorů ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$ a ${\displaystyle {\vec {e}}_{b}}$. Dosud šlo pouze o klasickou fyziku. Kvantová fyzika popisuje světelné paprsky jako shluky fotonů. Místo intenzity světla tak lze hovořit o počtu fotonů, které prolétnou filtrem. Malusův zákon tak přejde do vztahu mezi počátečním ${\displaystyle N_{a}}$ a výsledným počtem fotonů ${\displaystyle N_{b}}$

${\displaystyle N_{b}=N_{a}({\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{b})^{2}.}$

Z celkového počtu ${\displaystyle N_{a}}$ fotonů jich tedy filtrem prolétlo pouze ${\displaystyle N_{b}}$. Každý z těchto fotonů měl tedy šanci ${\displaystyle N_{b}}$ ku ${\displaystyle N_{a}}$, že prolétne. Jinými slovy, každý foton prolétl s pravděpodobností ${\displaystyle p=N_{b}/N_{a}}$. Z výše uvedeného vztahu pak plyne, že je tato pravděpodobnost dána výrazem

${\displaystyle p=({\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{b})^{2}.}$

Tento vztah je již velmi blízký obecnému vzorci pro výpočet pravděpodobností v kvantové fyzice, který se nazývá Bornovo pravidlo.

Ačkoli jsme to dosud výslovně nezmínili, platí ještě jedna, naprosto samozřejmá, věc: každý foton buď projde filtrem, anebo neprojde. Pravděpodobnost toho, že foton projde, plus pravděpodobnost toho, že neprojde, tedy musí dát jedničku. Pokud je filtr natočen do vertikální polohy, projde jím foton s jistou pravděpodobností ${\displaystyle p_{V}}$, která je závislá na počáteční polarizaci fotonu. S doplňkovou pravděpodobností ${\displaystyle p_{H}}$ tedy foton filtrem neprojde. Dohromady tak musí platit

${\displaystyle p_{V}+p_{H}=1,}$

kterýžto vztah lze chápat jako důsledek relace úplnosti.

První polarizátor vyfiltruje z původního paprsku jen vertikální polarizaci. Přidáme-li další polarizátor natočený stejně jako ten první, tak k žádnému dalšímu vyfiltrování nedochází a světlo se dál šíří ve vertikální polarizaci. Natočíme-li však druhý polarizátor do horizontální polohy, neprochází jim dále již žádné světlo.

Kromě pravděpodobností, s jakými foton projde či neprojde filtrem, lze studovat i výslednou polarizaci těchto fotonů. Bez ohledu na to, jaká byla původní polarizace fotonu, je jeho polarizace po průchodu filtrem plně určena osou filtru. Pro jednoduchost předpokládejme, že je filtr natočen tak, že propouští pouze vertikálně polarizované světlo. Označme si polarizační filtr natočený do vertikální polohy symbolem ${\displaystyle F_{V}}$ a počáteční polarizaci fotonu symbolem ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$. Pak z právě uvedeného tvrzení platí, že

${\displaystyle F_{V}({\vec {e}}_{a})={\vec {e}}_{V},}$

kde ${\displaystyle {\vec {e}}_{V}}$ označuje vertikální polarizaci. Pokud dále za první polarizační filtr umístíme druhý polarizační filtr, který také propouští pouze vertikální polarizaci, je přirozené očekávat, že druhý filtr už nemá na procházející světlo žádný vliv, viz obrázek napravo. Vskutku, ze vzorce výše plyne, že dvojnásobná aplikace filtru ${\displaystyle F_{V}}$ dá stejný výsledek, jako aplikace jediná

${\displaystyle F_{V}^{2}({\vec {e}}_{a})=F_{V}({\vec {e}}_{V})={\vec {e}}_{V}.}$

Protože tento vztah platí pro jakoukoli vstupní polarizaci ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$, musí tento vztah platit i pro zobrazení ${\displaystyle F_{V}}$ samotné

${\displaystyle F_{V}^{2}=F_{V}.}$

Pokud naopak natočíme osu druhého fitru tak, že propouští pouze horizontální polarizaci, tak jím již žádné světlo neprojde. Všechno vertikálně polarizované světlo, které vychází z prvního filtru, je tím druhým totiž zcela blokováno. Pokud si polarizační filtr natočený do horizontální polohy označíme symbolem ${\displaystyle F_{H}}$, lze právě uvedené tvrzení vyjádřit vztahem

${\displaystyle F_{H}\cdot F_{V}=0.}$

Úlohu polarizačních filtrů ${\displaystyle F_{V}}$ a ${\displaystyle F_{H}}$ plní v kvantové teorii lineární operátory. Jak bylo uvedeno výše, aplikujeme-li dvakrát po sobě tentýž filtr, je výsledná polarizace stejná, jako kdybychom aplikovali tento filtr jen jednou. Neboli ${\displaystyle F_{V}^{2}=F_{V}}$ a ${\displaystyle F_{H}^{2}=F_{H}}$. Operátorům, které splňují tuto vlastnost, se říká projektory. Dále jsme viděli, že pokud po filtru ${\displaystyle F_{V}}$ aplikujeme hned filtr ${\displaystyle F_{H}}$, jehož osa je kolmá (neboli ortogonální) k ose filtru prvního, nedostaneme na konci žádné světlo. V symbolech: ${\displaystyle F_{H}\cdot F_{V}=0}$. Projektorům, které splňují tuto vlastnost, se říká ortogonální projektory.

Tato krátká diskuze s polarizovanými fotony a dvěma polarizačními filtry nás vede k obecné definici kvantového měření, tak jak je podáno v následující sekci.

Základním druhem kvantového měření je projektivní měření (anglicky: projective measurement). Projektivní měření je popsáno množinou projektorů ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$, které jsou navzájem ortogonální a které splňují relaci úplnosti[1][2]. Jinými slovy, zobrazení ${\displaystyle P_{j}}$ splňují podmínky

1. (ortogonální projektory) : ${\displaystyle P_{j}^{2}=P_{j},\quad P_{j}P_{k}=0,\quad j\neq k,}$
2. (relace úplnosti) : ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}P_{j}=\mathbb {I} ,}$

kde ${\displaystyle \mathbb {I} }$ označuje identické zobrazení. První výše uvedená podmínka vyjadřuje skutečnost, že opětovné měření na právě změřeném systému dává tentýž výsledek. Oba vzorce z této podmínky lze kompaktně zapsat vzorcem jediným ve tvaru

${\displaystyle P_{j}P_{k}=\delta _{jk}P_{k},}$

kde ${\displaystyle \delta _{jk}}$ označuje Kroneckerovo delta. Relace úplnosti pak vyjadřuje fakt, že po změření systému určitě nějaký výsledek dostaneme, bez ohledu na to, jaký.

Projektivnímu měření se též říká von Neumannovo měření (anglicky: von Neumann measurement) a někdy se označuje zkratkou PVM (zkratka z anglického projection-valued measure). V kontextu slabého měření se projektivnímu měření říká i silné měření (anglicky: strong measurement). Občas se lze setkat i s označením ideální měření (anglicky: ideal measurement) či ostré měření (anglicky: sharp measurement)[pozn. 1].

Ve speciálním případě, kdy jsou všechny projektory ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$ jednorozměrné, existují čisté kvantové stavy ${\displaystyle \{|\varphi _{j}\rangle \}_{j=1}^{n}}$ tak, že

${\displaystyle P_{j}=|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|.}$

K jednorozměrným projektorům se váže následující terminologie. Pokud stavy ${\displaystyle \{|\varphi _{j}\rangle \}_{j=1}^{n}}$ tvoří (ortonormální) bázi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ stavového prostoru, pak odpovídajícímu projektivnímu měření s operátory ${\displaystyle \{P_{j}=|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|\}_{j=1}^{n}}$ říkáme měření v bázi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ (anglicky: measurement in a basis ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$). Tato terminologie se používá jak při měření čistých, tak i smíšených stavů.

Projektory popisují, jak se stav změřeného systému změní procesem měření. V každém konkrétním změření pak nastane jen jedna možnost, popsaná jediným projektorem. Kterým, to nelze dopředu stanovit a konkrétní volba je učiněna přírodou náhodně. Výše podaná definice také neříká nic o tom, jakou hodnotu měřené veličiny měřicí přístroj zaregistruje. Ke každému projektoru ${\displaystyle P_{j}}$ je tak nutno ještě přidružit hodnotu ${\displaystyle \lambda _{j}}$, která je výslednou hodnotou měření, realizuje-li se možnost s indexem ${\displaystyle j}$[pozn. 2]. Konkrétní způsob, jakým měření ovlivní vývoj měřeného systému, lze popsat v naprosté obecnosti pro kvantové stavy vyjádřené operátory hustoty. Pro jednoduchost však nejprve níže uvedeme jednodušší případ s čistými kvantovými stavy, které jsou popsány stavovými vektory. K operátorům hustoty se vrátíme později.

Pokud se kvantový systém nachází těsně před měřením v čistém kvantovém stavu, můžeme tento stav vyjádřit v braketovém formalizmu jako ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Samotné měření pak probíhá jako interakce měřeného systému s měřicím přístrojem. Po konci interakce vrátí měřicí přístroj jednu konkrétní hodnotu ${\displaystyle \lambda _{k}}$, přičemž se stav systému změní do podoby

${\displaystyle |\psi \rangle _{\mathrm {post} }={\frac {P_{k}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{k}|\psi \rangle }}},}$

kde ${\displaystyle |\psi \rangle _{\mathrm {post} }}$ označuje stav systému po měření. Právě uvedenému vzorci se v zahraniční literatuře občas říká Lüdersovo pravidlo (anglicky: Lüders rule)[3][4][5]. To, jestli se realizuje možnost ${\displaystyle k=1}$, nebo možnost ${\displaystyle k=2}$, anebo kterákoli ze zbylých možností, není obecně ničím určeno. Tato volba je zcela náhodná a to ne kvůli chybějící znalosti o procesu měření. Této náhodnosti se nelze zbavit, protože je jedním ze základních principů přírody. Různé možnosti se ale mohou uskutečnit s různou pravděpodobností. Pravděpodobnost toho, že nastane možnost ${\displaystyle k}$ je dána výrazem

${\displaystyle p_{k}=\langle \psi |P_{k}|\psi \rangle .}$

Ve speciálním případě, kdy jsou všechny projektory ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$ jednorozměrné, existují kvantové stavy ${\displaystyle \{|\varphi _{j}\rangle \}_{j=1}^{n}}$ tak, že ${\displaystyle P_{j}=|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$. Stav systému po naměření hodnoty ${\displaystyle \lambda _{k}}$ pak nabývá tvaru

${\displaystyle |\psi \rangle _{\mathrm {post} }=|\varphi _{k}\rangle ,}$

a tato možnost se přitom zrealizuje s pravděpodobností ${\displaystyle p_{k}=|\langle \varphi _{k}|\psi \rangle |^{2}}$. Tento poslední výraz se nazývá Bornovo pravidlo (anglicky: Born rule) a jeho význam je natolik velký, že ho zvýrazníme v rámečku:

${\displaystyle p_{k}=|\langle \varphi _{k}|\psi \rangle |^{2}.}$

Bornovo pravidlo udává, jak velká je pravděpodobnost, že systém ve stavu ${\displaystyle |\psi \rangle }$ přejde do stavu ${\displaystyle |\varphi _{k}\rangle }$.

V sekci "Projektivní měření polarizace" níže je podán konkrétní příklad použití Lüdersova a Bornova pravidla pro čisté stavy.

Čisté stavy jsou speciálním případem stavů smíšených, k jejichž popisu je zapotřebí operátoru hustoty ${\displaystyle \rho }$. Pokud měřicí přístroj naměří hodnotu ${\displaystyle \lambda _{k}}$, přejde stav měřeného systému do tvaru

${\displaystyle \rho _{\mathrm {post} }={\frac {P_{k}\rho P_{k}}{\mathrm {tr} (P_{k}\rho )}},}$

kde ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ označuje stopu matice a ${\displaystyle \rho _{\mathrm {post} }}$ je stav systému po měření. Tento výraz je zobecnění Lüdersova pravidla pro smíšené stavy. Pravděpodobnost toho, že přístroj naměří hodnotu ${\displaystyle \lambda _{k}}$ je dána výrazem

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} (P_{k}\rho ).}$

Tento výraz je zobecněním Bornova pravidla pro smíšené stavy.

Právě uvedené vzorce se zredukují do vzorců představených v předchozí kapitolce, pokud je kvantový stav čistý. V takovém případě je operátor hustoty roven jednorozměrnému projektoru ve tvaru ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ a pro stav po měření dostáváme

${\displaystyle \rho _{\mathrm {post} }={\frac {P_{k}|\psi \rangle \langle \psi |P_{k}}{\mathrm {tr} (P_{k}|\psi \rangle \langle \psi |)}}=|\psi _{\mathrm {post} }\rangle \langle \psi _{\mathrm {post} }|,}$

kde ${\displaystyle |\psi _{\mathrm {post} }\rangle }$ je definován jako

${\displaystyle |\psi _{\mathrm {post} }\rangle ={\frac {P_{k}|\psi \rangle }{\sqrt {p_{k}}}},}$

přičemž ${\displaystyle p_{k}}$ je pravděpodobnost naměření hodnoty ${\displaystyle \lambda _{k}}$. Její výraz můžeme zjednodušit způsobem

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} (P_{k}|\psi \rangle \langle \psi |)=\mathrm {tr} (\langle \psi |P_{k}|\psi \rangle )=\langle \psi |P_{k}|\psi \rangle .}$

Alternativním způsobem, jak popsat projektivní měření, je pomocí tak zvané pozorovatelné (anglicky: observable). Uvažujme projektivní měření popsané projektory ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$ a přidruženými hodnotami ${\displaystyle \{\lambda _{j}\}_{j=1}^{n}}$. Pozorovatelná, jež odpovídá tomuto měření, je operátor ${\displaystyle M}$, který lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle M=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j}.}$

Za hodnoty ${\displaystyle \{\lambda _{j}\}_{j=1}^{n}}$ jsou brána v kvantové teorii téměř výhradně reálná čísla (a ne komplexní), což se odůvodňuje tak, že hodnoty získané měřením ve skutečném experimentu mohou být jen reálné. V takovém případě je právě zavedený operátor ${\displaystyle M}$ hermitovský. Platí i opačná implikace: každý hermitovský operátor ${\displaystyle M}$ lze rozložit do výše uvedeného tvaru. Hodnoty ${\displaystyle \{\lambda _{j}\}_{j=1}^{n}}$ jsou pak vlastní čísla operátoru ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$ jsou projektory na odpovídající vlastní vektory. Z tohoto důvodu se běžně za pozorovatelnou bere jakýkoliv hermitovský operátor. Omezení se na hermitovské operátory není nicméně zcela nezbytné a objevují se i pokusy o zobecnění pozorovatelných na nehermitovské operátory[6][7].

Vlastní čísla mohou být degenerovaná a tedy jednomu číslu ${\displaystyle \lambda _{j}}$ může být přiřazeno více ortonormálních vlastních vektorů. Ty dohromady tvoří bázi podprostoru, na který projektor ${\displaystyle P_{j}}$ zobrazuje. Pokud může daná fyzikální veličina nabývat nespočetně mnoha hodnot, jako v případě polohy či hybnosti, je nutno nahradit sumu ve vzorci výše integrálem. Místo projektorů je pak nutno pracovat s projektorovými měrami. Studium integrálů přes operátory vyžaduje pokročilý matematický aparát, kterým se zabývá funkcionální analýza a který se svou náročností nachází zcela mimo rámec tohoto článku.

Užitečnost výše zavedeného operátoru ${\displaystyle M}$ vyplývá z faktu, že lze pomocí něho velmi kompaktně vyjádřit průměrné hodnoty získané mnohokrát opakovaným měřením, jak si právě ukážeme. Předpokládejme, že máme k dispozici mnoho kopií téhož fyzikálního systému v témže čistém kvantovém stavu ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Každý systém vystavíme projektivnímu měření a pro každý z nich dostaneme jednu konkrétní hodnotu z množiny ${\displaystyle \{\lambda _{j}\}_{j=1}^{n}}$. Řekněme, že z celkového počtu ${\displaystyle N}$ měření jsme dostali ${\displaystyle n_{1}}$-krát hodnotu ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$-krát hodnotu ${\displaystyle \lambda _{2}}$, atd. Pravděpodobnost ${\displaystyle p_{j}}$ naměření hodnoty ${\displaystyle \lambda _{j}}$ lze získat poměrem ${\displaystyle p_{j}=n_{j}/N}$. Vážený průměr přes všechny naměřené hodnoty je roven výrazu: ${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\textstyle \sum _{j=1}^{n}}\lambda _{j}p_{j}}$. Tento výraz je přímé zobecnění běžného aritmetického průměru, kde se jednotlivé hodnoty ${\displaystyle \lambda _{j}}$ vyskytují s různými pravděpodobnostmi. Z teorie výše víme, že pravděpodobnosti lze též spočítat výrazem ${\displaystyle p_{j}=\langle \psi |P_{j}|\psi \rangle }$. Po dosazení tohoto vzorce to rovnice pro vážený průměr dostáváme

${\displaystyle {\bar {\lambda }}=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\langle \psi |P_{j}|\psi \rangle =\langle \psi |\left(\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j}\right)|\psi \rangle =\langle \psi |M|\psi \rangle .}$

Dostali jsme tak velmi jednoduchý vzorec pro výpočet průměru veličiny, jejíž jednotlivé hodnoty jsou ${\displaystyle \{\lambda _{j}\}_{j=1}^{n}}$. Protože operátor ${\displaystyle M}$ charakterizuje plně tuto veličinu, jak plyne z předchozího výpočtu, ztotožňuje se obvykle fyzikální veličina a jí odpovídající operátor. Místo symbolu ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ tak píšeme ${\displaystyle \langle M\rangle }$ a tento výraz daný vzorcem ${\displaystyle \langle M\rangle =\langle \psi |M|\psi \rangle }$ se nazývá střední hodnota (anglicky: mean value nebo též expectation value) pozorovatelné ${\displaystyle M}$. Střední hodnota veličiny se vždy váže na konkrétní stav systému. Pro různé stavy nabývá tatáž veličina různých středních hodnot. Pokud je nutné výslovně zmínit i o jaký stav se konkrétně jedná, používá se občas notace

${\displaystyle \langle M\rangle _{\psi }=\langle \psi |M|\psi \rangle }$

a hovoří se o střední hodnotě pozorovatelné ${\displaystyle M}$ ve stavu ${\displaystyle |\psi \rangle }$.

Uvedené vztahy lze zobecnit i pro smíšené stavy. Smíšený stav popsaný operátorem hustoty ${\displaystyle \rho }$ lze vyjádřit jako konvexní kombinaci čistých stavů ve tvaru ${\displaystyle \rho ={\textstyle \sum _{k=1}^{K}}q_{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$ pro vhodně zvolené čisté stavy ${\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}_{k=1}^{K}}$ a rozdělení pravděpodobnosti ${\displaystyle \{q_{k}\}_{k=1}^{K}}$. Naším cílem je nyní odvodit vzorec pro střední hodnotu pozorovatelné ${\displaystyle M}$ ve stavu ${\displaystyle \rho }$. Vyjádření stavu ${\displaystyle \rho }$ výše lze interpretovat následovně: s pravděpodobností ${\displaystyle q_{k}}$ posíláme při měření do měřicího přístroje čistý stav ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ a teprve až ten podstupuje samotný měřicí proces. V souladu s výpočty pro čisté stavy uvedenými výše, pro každý z čistých stavů dostáváme střední hodnoty pozorovatelné ${\displaystyle M}$ ve tvaru ${\displaystyle \langle M\rangle _{\psi _{k}}=\langle \psi _{k}|M|\psi _{k}\rangle }$. Každý z těchto čistý stavů se ovšem může vyskytnout s pravděpodobností ${\displaystyle q_{k}}$ a musíme tedy provézt ještě jedno vyprůměrování, čímž dostáváme

${\displaystyle \langle M\rangle _{\rho }=\sum _{k=1}^{K}q_{k}\langle M\rangle _{\psi _{k}}=\sum _{k=1}^{K}q_{k}\langle \psi _{k}|M|\psi _{k}\rangle =\sum _{k=1}^{K}q_{k}\mathrm {tr} (M|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|)=\mathrm {tr} \left(M\left(\sum _{k=1}^{K}q_{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|\right)\right)=\mathrm {tr} \left(M\rho \right),}$

kde ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ označuje stopu matice. Dospěli jsme tak k výrazu pro střední hodnotu pozorovatelné ${\displaystyle M}$ ve smíšeném stavu ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle M\rangle _{\rho }=\mathrm {tr} (M\rho ).}$

Z experimentálního pohledu má smysl hovořit o středních hodnotách jen ve chvíli, kdy máme k dispozici statistiku výsledků mnohokrát provedeného měření. Střední hodnota pak představuje jednu z charakteristik naměřených dat. Další charakteristikou týchž dat je směrodatná odchylka. Směrodatnou odchylku pozorovatelné ${\displaystyle M}$ ve stavu ${\displaystyle \rho }$ lze spočíst s využitím výše uvedených vzorců následovně:

${\displaystyle \Delta M=\langle M^{2}\rangle -\langle M\rangle ^{2},}$

kde ${\displaystyle M^{2}}$ je přísně vzato nová pozorovatelná, jež se rovná druhé mocnině pozorovatelné ${\displaystyle M}$.

Projektivní měření uvedené výše je velmi významným, leč pouze speciálním, případem obecnějšího formalizmu, formalizmu zvaného zobecněné měření[pozn. 3] (anglicky: generalized measurement). Měření obecně popisuje dvě věci. Jednak pravděpodobnosti, s jakými naměříme jednotlivé výsledky, jednak výsledný stav změřeného systému. Pokud se zajímáme jen o pravděpodobnosti a výsledný stav pro nás není důležitý, můžeme měření popsat pomocí sady operátorů ${\displaystyle \{E_{j}\}_{j=1}^{n}}$, které splňují následující dvě podmínky:

1. (pozitivita) : ${\displaystyle E_{j}\geq 0,}$
2. (relace úplnosti) : ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}E_{j}=\mathbb {I} ,}$

kde ${\displaystyle \mathbb {I} }$ označuje identické zobrazení. Tato sada operátorů se označuje zkratkou POVM (zkratka z anglického positive operator-valued measure) a jednotlivé operátory se občas nazývají prvky POVM (anglicky: POVM elements) či efekty (anglicky: effects). První podmínka říká, že všechny operátory jsou pozitivně semidefinitní, a vyjadřuje požadavek, aby pravděpodobnosti byly nezáporná čísla. Druhá podmínka pak odpovídá tomu, že se pravděpodobnosti pro všechy možné výsledky musejí sečíst na jedničku. Ke každému operátoru ${\displaystyle E_{j}}$ je přidružena hodnota ${\displaystyle \lambda _{j}}$. Tato hodnota je výslednou hodnotou měření, realizuje-li se možnost s indexem ${\displaystyle j}$. Pravděpodobnost toho, že na stavu daném operátorem hustoty ${\displaystyle \rho }$ naměříme hodnotu ${\displaystyle \lambda _{j}}$, je dána vzorcem

${\displaystyle p_{j}=\mathrm {Tr} (E_{j}\rho ).}$

Pokud je stav čistý, lze ho popsat vektorem ${\displaystyle |\psi \rangle }$ a právě uvedený vzorec se zjednoduší do tvaru: ${\displaystyle p_{j}=\langle \psi |E_{j}|\psi \rangle }$. Význačným příkladem POVM měření je metoda zvaná jednoznačné rozlišení stavů. Tato metoda je v krátkosti představena v kapitolce "Jednoznačné rozlišení stavů" níže.

POVM formalizmus není schopen určit stav systému po měření. Pokud chceme popsat i ten, musíme zavést dodatečnou sadu speciálních zobrazení. Tato zobrazení jsou lineární superoperátory ${\displaystyle \{\phi _{j}\}_{j=1}^{n}}$ a říká se jim instrumenty (anglicky: instruments). Při naměření výsledku ${\displaystyle \lambda _{j}}$ se stav systému ${\displaystyle \rho }$ změní do podoby

${\displaystyle \rho _{j}={\frac {1}{p_{j}}}\,\phi _{j}(\rho ).}$

Je jednoduché si rozmyslet, že při speciální volbě, kdy za POVM prvky dosadíme ortogonální projektory ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$ a instrumenty zvolíme ve tvaru ${\displaystyle \phi _{j}(\rho )=P_{j}\,\rho \,P_{j}}$, se zobecněné měření redukuje na měření projektivní. Na druhou stranu, zobecněné měření lze modelovat pomocí unitárního vývoje a projektivního měření, jak je vysvětleno v následující kapitolce, a v mnoha případech si tak člověk vystačí pouze s projektivními měřeními.

V obecném případě, kdy POVM tvoří nějaké pozitivní operátory ${\displaystyle \{E_{j}\}_{j=1}^{n}}$, lze tyto vždy zapsat ve tvaru ${\displaystyle E_{j}=V_{j}^{\dagger }V_{j}}$ pro vhodně zvolené operátory ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j=1}^{n}}$.[pozn. 4] Tyto operátory však nejsou určeny jednoznačně, protože kterýkoli operátor tvaru ${\displaystyle V'_{j}=U\,V_{j}}$, kde ${\displaystyle U}$ je unitární, splňuje tentýž vztah ${\displaystyle E_{j}={V'}_{j}^{\dagger }{V'}_{j}}$, jak se lze přesvědčit přímým dosazením a využitím unitarity. Jeden z možných tvarů instrumentů je pak dán vzorcem ${\displaystyle \phi _{j}(\rho )=V_{j}\,\rho \,V_{j}^{\dagger }}$. Tvar instrumentů může být ale obecně složitější.

Ačkoli je projektivní měření přísně vzato pouze speciálním případem zobecněného měření, lze i zobecněná měření v jistém smyslu chápat jako poupravená měření projektivní. Lze totiž ukázat, že zobecněné měření lze zrealizovat jako projektivní měření na větším Hilbertově stavovém prostoru. Přesný vztah je dán matematickou větou odvozenou Markem Naimarkem (někdy též psáno Neumarkem)[8], které se v zahraniční literatuře říká Naimark's dilation theorem. Jedna z jejích zjednodušených verzí zní následovně:

Mějme POVM měření zadané operátory ${\displaystyle \{E_{j}\}_{j=1}^{n}}$, které působí na prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ o dimenzi ${\displaystyle d}$. Toto měření lze zrealizovat pomocí ortogonálních projektorů ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$, které působí na prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus \mathbb {C} ^{M-d}}$, jenž je direktním součtem původního prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ a pomocného prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} ^{M-d}}$ a kde dále ${\displaystyle \textstyle M=\sum _{j=1}^{n}\mathrm {rank} E_{j}}$ je součet hodností operátorů ${\displaystyle E_{j}}$. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou pak rovny

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} (E_{k}\rho )=\mathrm {tr} (P_{k}(\rho \oplus 0)),}$

kde první stopa je brána v prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, druhá v rozšířeném prostoru ${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus \mathbb {C} ^{M-d}}$ a kde ${\displaystyle 0}$ označuje nulovou matici na prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} ^{M-d}}$.

Podobný vztah mezi projektivním a zobecněným měřením lze nalézt i ve více fyzikálně motivovaném případě. Uvažme nejprve jistý fyzikální systém ${\displaystyle S}$. Tento systém podléhá unitárnímu časovému vývoji, v souladu s postuláty kvantové mechaniky. V rámci tohoto vývoje může systém ${\displaystyle S}$ interagovat s nějakým dalším systémem ${\displaystyle A}$. Řekněme, že po jistém čase vystavíme systém ${\displaystyle A}$ projektivnímu měření. Kvůli proběhlé interakci nyní stav systému ${\displaystyle A}$ obsahuje i část informace o stavu systému ${\displaystyle S}$. Měření na ${\displaystyle A}$ tedy můžeme v jistém smyslu chápat i jako měření na ${\displaystyle S}$. Ukazuje se, že se jedná o zobecněné měření na ${\displaystyle S}$. Pro podrobnosti viz následující kapitolku.

Ve snaze popsat kvantové měření z více fyzikálního pohledu je někdy toto chápáno jako interakce měřeného systému s měřicím aparátem, kdy po proběhlé interakci dochází ke "změření" měřicího přístroje. Ze stavu měřicího přístroje pak lze vyčíst informace o měřeném systému. Jak moc lze vyčíst přitom závisí na síle interakce: čím silnější interakce, tím se více informace o stavu měřeného systému přenese do stavu měřicího aparátu. Tento jednoduchý fyzikální model lze aplikovat při popisu zobecněného měření, jak je provedeno níže, ale lze ho použít i pro popis slabého měření (viz oddíl "slabé měření") a na tento koncept odkazuje i název další techniky, a sice bezinterakčního měření (viz oddíl "bezinterakční měření").

Projděme si právě uvedený model podrobněji. Označme si měřený systém a měřicí aparát po řadě ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle A}$. Předpokládejme, že počáteční stavy systémů ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle A}$ jsou po řadě ${\displaystyle \rho _{S}}$ a ${\displaystyle |0\rangle \langle 0|}$. Pokud oba systémy chápame jako jeden celek, nachází se tento celek ve stavu ${\displaystyle \rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|}$. Interakci lze popsat pomocí unitárního operátoru ${\displaystyle U}$, který působí na oba systémy. Společný stav obou systémů tak po interakci zní ${\displaystyle \rho =U(\rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|)U^{\dagger }}$. Pokud je projektivní měření na systému ${\displaystyle A}$ charakterizováno projektory ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{n}}$, lze tyto chápat jako projektory ${\displaystyle \{P'_{j}\}_{j=1}^{n}}$ na obou systémech ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle A}$, kde ${\displaystyle P'_{j}=\mathbb {I} \otimes P_{j}}$, přičemž ${\displaystyle \mathbb {I} }$ označuje identický operátor na systému ${\displaystyle S}$. Pravděpodobnost, že se při měření zrealizuje možnost ${\displaystyle k}$, je pak rovna výrazu

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} (P'_{k}\rho )=\mathrm {tr} ((\mathbb {I} \otimes P_{k})U(\rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|)U^{\dagger }).}$

Z vlastností stopy matice plyne, že právě uvedený vzorec lze přepsat do tvaru

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} (U^{\dagger }(\mathbb {I} \otimes P_{k})U(\rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|))=\mathrm {tr} (B_{k}(\rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|)),}$

kde jsme si vztahem ${\displaystyle B_{k}=U^{\dagger }(\mathbb {I} \otimes P_{k})U}$ definovali operátory ${\displaystyle B_{k}}$, které působí na obou systémech ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle A}$. Stopu matice přes oba systémy lze chápat jako částečnou stopu přes systém ${\displaystyle A}$, následovaný částečnou stopou přes systém ${\displaystyle S}$. Explicitně tak dostáváme

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} _{S}\left(\mathrm {tr} _{A}(B_{k}(\rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|))\right)=\mathrm {tr} _{S}\left(\sum _{l=1}^{n}(\mathbb {I} \otimes \langle l|)(B_{k}(\rho _{S}\otimes |0\rangle \langle 0|)(\mathbb {I} \otimes |l\rangle )\right)=\mathrm {tr} _{S}((\mathbb {I} \otimes \langle 0|)B_{k}(\mathbb {I} \otimes |0\rangle )\,\rho _{S})=\mathrm {tr} _{S}(E_{k}\,\rho _{S}),}$

kde jsme si definovali operátory ${\displaystyle E_{k}=(\mathbb {I} \otimes \langle 0|)B(\mathbb {I} \otimes |0\rangle )}$, které působí pouze na systému ${\displaystyle S}$. Shrneme-li dosavadní výpočty, dostáváme rovnost

${\displaystyle p_{k}=\mathrm {tr} (P'_{k}\rho )=\mathrm {tr} (E_{k}\rho _{S}),}$

kde první stopa je prováděna přes oba systémy ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle P'_{k}}$ je projektor působící na jejich společný stav ${\displaystyle \rho }$. Druhá stopa je pak prováděna už jen přes systém ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle E_{k}}$ je operátor působící na stav ${\displaystyle \rho _{S}}$, ve kterém se nacházel systém ${\displaystyle S}$ předtím, než proběhla interakce s ${\displaystyle A}$. Lze ukázat, že operátory ${\displaystyle E_{k}}$ jsou všechny pozitivní a sečtou se na identitu. Vyhovují tedy definici POVM měření, uvedené výše. Ukázali jsme tedy, že projektivní měření spolu s unitárním vývojem lze chápat jako měření zobecněné.

Jedním z nejvýznamnějších experimentů v oblasti kvantové fyziky je ten Sternův–Gerlachův. V tomto experimentu jsou atomy stříbra posílány skrz nehomogenní magnetické pole, jehož působením jsou trajektorie atomů vychylovány od přímočarého směru. Tato odchylka je tím větší, čím blíže je osa magnetického momentu atomu ke směru magnetického pole. Po průletu polem dopadají atomy na citlivé stínítko, kde po dopadu zanechají stopu. Čím dále je stopa od středu stínítka, tím větší bylo vychýlení. Pokud takto detekujeme mnoho odchýlených atomů, vytvoří se na stínítku jistý obrazec. Protože je směr magnetického momentu atomů před průletem magnetickým polem zcela náhodný, je logické předpokládat, že tento obrazec bude jeden velký shluk, prodloužený ve směru magnetického pole. K tomuto nicméně ve skutečnosti nedochází. Místo toho se na stínítku vytvoří dva menší shluky, jeden nad středem stínítka a jeden pod ním. Toto chování je důsledkem kvantování spinu atomů stříbra, kterýžto může nabývat jen dvou možných hodnot: buď ${\displaystyle +\hbar /2}$, anebo ${\displaystyle -\hbar /2}$.

V kontextu kvantového měření pak Sternův–Gerlachův experiment představuje projektivní měření, kde první projektor odpovídá naměření kladného spinu ${\displaystyle \hbar /2}$ ("spin nahoru"), kdy se stav atomu zredukuje do tvaru ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$, a druhý projektor odpovídá naměření záporného spinu ${\displaystyle -\hbar /2}$ ("spin dolů"), kdy se stav atomu zredukuje do tvaru ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$. Formálně lze tedy toto měření popsat pomocí pozorovatelné

${\displaystyle O=\hbar /2|\uparrow \rangle \langle \uparrow |-\hbar /2|\downarrow \rangle \langle \downarrow |.}$

Mějme nyní atom s náhodně orientovaným spinem ve stavu

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |\uparrow \rangle +\beta |\downarrow \rangle ,}$

kde ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ jsou po řadě amplitudy pravděpodobnosti, že se atom nachází ve stavu ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$ a ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$. Po změření atomu s takovýmto počátečním stavem obdržíme s pravděpodobností ${\displaystyle p_{\uparrow }=|\alpha |^{2}}$ hodnotu ${\displaystyle +\hbar /2}$ a s doplňkovou pravděpodobností ${\displaystyle p_{\downarrow }=|\beta |^{2}}$ hodnotu ${\displaystyle -\hbar /2}$. V prvním případě bude po měření atom ve stavu ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$, v tom druhém pak ve stavu ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$. Bez ohledu na počáteční stav se tak po změření nachází atom jen v jednom ze dvou možných stavů.

Právě uvedené měření odpovídá jedné konkrétní volbě měřicí báze, kde měření spinu probíhá podél svislé osy. Zcela analogicky lze ale měřit spin i podél jakékoliv jiné osy. V následujícím příkladě s polarizací fotonů je ilustrována závislost výsledků měření právě na různé volbě měřicí báze.

Polarizaci světla lze do jisté míry chápat jako směr, ve kterém kmitá světelná vlna. Pokud vlna kmitá vodorovně ze strany na stranu, označujeme tuto jako horizontální polarizaci. Kmitá-li nahoru a dolů, používáme označení vertikální polarizace. Světelná vlna může však kmitat i v jakémkoliv jiném směru. Tento obecnější směr lze ale vždy vyjádřit jako lineární kombinaci vodorovného a svislého kmitání. Existují tak jen dva nezávislé směry polarizace. Velmi podobně to platí i pro jednotlivé fotony, částice světla. Polarizace jednoho fotonu je představována stavem ve dvourozměrném Hilbertově prostoru. Jakékoliv projektivní měření polarizace tak sestává právě ze dvou projektorů. V následujícím je na příkladu polarizace fotonů představen formalizmus kvantového měření z pohledu teorie. Pro konkrétní způsob, jakým je měřena polarizace fotonů v reálných experimentech, viz oddíl "Polarizace fotonů".

Uvažujme pro konkrétnost tři fotony, které jsou po řadě ve stavech

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle =|H\rangle ,\quad |\psi _{2}\rangle =|V\rangle ,\quad |\psi _{3}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle ).}$

Foton první je tedy ve vodorovné (horizontální, ${\displaystyle H}$) polarizaci, foton druhý v polarizaci svislé (vertikální, ${\displaystyle V}$) a foton třetí se nachází v kvantové superpozici horizontální a vertikální polarizace. Tyto fotony vystavíme dvěma kvantovým měřením. Tím prvním je měření v bázi H/V, jak je rozebráno níže.

Kvantové měření polarizace fotonů v bázi ${\displaystyle H/V}$. Fotony, schematicky zobrazené jako vlnové balíky kmitající ve směru polarizace, se po řadě nacházejí v polarizaci horizontální (${\displaystyle H}$), vertikální (${\displaystyle V}$) a diagonální (${\displaystyle D}$). Pro diagonální polarizaci se foton ocitne za děličem paprsků v kvantové superpozici horizontální a vertikální polarizace, dokud nedojde ke kolapsu jeho vlnové funkce. V animaci si foton nakonec vybere pravý detektor, ale se stejnou pravděpodobností by si mohl vybrat i detektor levý.

Chceme-li vědět, nachází-li se foton v horizontální či vertikální polarizaci, sestrojíme měření, jež je charakterizováno projektory

${\displaystyle P_{H}=|H\rangle \langle H|,\quad P_{V}=|V\rangle \langle V|.}$

Protože jsou obě zmíněné polarizace navzájem kolmé, to jest ${\displaystyle \langle H|V\rangle =0}$, je snadné se přesvědčit, ža takto zvolené projektory skutečně vyhovují definici projektivního měření uvedené výše. V konkrétním experimentu by toto měření odpovídalo situaci, kdy fotony posíláme do polarizačního děliče paprsků a pomocí fotodetektorů zjišťujeme, kterým ze dvou výstupních portů děliče foton vyletěl, viz animace napravo. Zajímá nás nyní, s jakými pravděpodobnostmi na daném stavu naměříme horizontální a vertikální polarizaci (označme si tyto pravděpodobnosti po řadě symboly ${\displaystyle p_{H}}$ a ${\displaystyle p_{V}}$). Pokud měříme první foton, který je ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a tedy polarizovaný horizontálně, obdržíme po jednoduchém výpočtu, že pravděpodobnost naměření vertikální polarizace ${\displaystyle p_{V}(\psi _{1})}$ je nulová. Konkrétně:

${\displaystyle p_{H}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|P_{H}|\psi _{1}\rangle =\langle H|H\rangle \langle H|H\rangle =|\langle H|H\rangle |^{2}=1,}$

${\displaystyle p_{V}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|P_{V}|\psi _{1}\rangle =\langle H|V\rangle \langle V|H\rangle =|\langle H|V\rangle |^{2}=0,}$

Pokaždé tady naměříme hodnotu ${\displaystyle H}$. Pro výsledné stavy fotonu po měření dále dostáváme

${\displaystyle |\psi _{1}^{(H)}\rangle =P_{H}|\psi _{1}\rangle =|H\rangle \langle H|H\rangle =|H\rangle ,}$

${\displaystyle |\psi _{1}^{(V)}\rangle =P_{V}|\psi _{1}\rangle =|V\rangle \langle V|H\rangle =0,}$

kde symbolem ${\displaystyle |\psi _{1}^{(H)}\rangle }$ označujeme stav fotonu, který se původně nacházel ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a pro který jsme při změření obdrželi výsledek ${\displaystyle H}$. Analogickou notaci použijeme i pro další stavy a projektory v následující diskuzi. Právě obdržený výsledek pro stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ je naprosto v souladu s očekáváním: zeptáme-li se horizontálně polarizovaného fotonu na to, zda je horizontálně či vertikálně polarizovaný, tak nepřekvapivě dostaneme odpověď, že je polarizovaný horizontálně a stav po měření je opět horizontální.

Naprosto analogicky bychom postupovali i pro druhý foton, který je polarizován vertikálně. Obdrželi bychom, že pravděpodobnost naměření horizontální polarizace na takovémto fotonu je nulová. Situace je však zajímavější pro třetí foton, který je polarizován ve stavu ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle }$. Pro něj dostáváme

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{H}(\psi _{3})&=\langle \psi _{3}|P_{H}|\psi _{3}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\langle H|+\langle V|)\,|H\rangle \langle H|\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )={\frac {1}{2}}(\langle H|H\rangle \langle H|H\rangle +\langle H|H\rangle \langle H|V\rangle +\langle V|H\rangle \langle H|H\rangle +\langle V|H\rangle \langle H|V\rangle )={\frac {1}{2}}(1+0+0+0)={\frac {1}{2}},\\p_{V}(\psi _{3})&=\langle \psi _{3}|P_{V}|\psi _{3}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\langle H|+\langle V|)\,|V\rangle \langle V|\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )={\frac {1}{2}}(\langle H|V\rangle \langle V|H\rangle +\langle H|V\rangle \langle V|V\rangle +\langle V|V\rangle \langle V|H\rangle +\langle V|V\rangle \langle V|V\rangle )={\frac {1}{2}}(0+0+0+1)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Máme tedy 50% pravděpodobnost, že naměříme jak horizontální tak vertikální polarizaci. V případě třetího fotonu se jeho stav po změření změní. Konkrétně, při naměření horizontální polarizace se stav fotonu změní do tvaru

${\displaystyle P_{H}|\psi _{3}\rangle =|H\rangle \langle H|{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )=|H\rangle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}|H\rangle .}$

Výsledný vektor není normalizovaný a neodpovídá tak přísně vzato kvantovému stavu. Z tohoto důvodu je v definici projektivního měření ještě započtena normalizace pomocí pravděpodobnosti, viz příslušný oddíl. Výsledný stav tedy zní

${\displaystyle |\psi _{3}^{(H)}\rangle ={\frac {P_{H}|\psi _{3}\rangle }{\sqrt {p_{H}}}}={\frac {{\frac {1}{\sqrt {2}}}|H\rangle }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}=|H\rangle .}$

Jinými slovy, po změření se stav fotonu zredukoval ze stavu ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle }$ do stavu ${\displaystyle |H\rangle }$. Přesně tento scénář je zobrazen v animaci napravo, kde si konkrétní foton, zpočátku polarizovaný ve stavu ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle =|D\rangle }$, nakonec "vybere" horizontální polarizaci. Zcela analogicky bychom dostali, že při naměření vertikální polarizace se stav fotonu zredukuje ze stavu ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle }$ do stavu vertikální polarizace ${\displaystyle |V\rangle }$.

Právě popsané měření, charakterizované projektory ${\displaystyle P_{H}}$ a ${\displaystyle P_{V}}$, odpovídá měření v bázi vektorů ${\displaystyle |H\rangle }$ a ${\displaystyle |V\rangle }$. V kvantové mechanice však můžeme za měřicí bázi zvolit kteroukoliv jinou bázi Hilbertova prostoru, ve kterém leží stav námi studovaných fotonů. Jinou volbou tak můžou být vektory ${\displaystyle |D\rangle }$ a ${\displaystyle |A\rangle }$, definované vztahy

${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle ),\quad |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle ).}$

Těmto stavům odpovídají projektory ${\displaystyle P_{D}=|D\rangle \langle D|}$ a ${\displaystyle P_{A}=|A\rangle \langle A|}$. Proveďme nyní stejnou diskuzi, jakou jsme provedli výše pro tři dané fotony ve stavech ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle }$, kde nyní měříme tyto fotony pomocí projektorů ${\displaystyle P_{D}}$ a ${\displaystyle P_{A}}$.

Pro první foton dostáváme

Pravděpodobnosti naměření	Výsledné stavy
${\displaystyle p_{D}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|P_{D}|\psi _{1}\rangle =\langle H|D\rangle \langle D|H\rangle =|\langle H|D\rangle |^{2}=\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle |\psi _{1}^{(D)}\rangle ={\frac {P_{D}|\psi _{1}\rangle }{\sqrt {p_{D}}}}={\frac {|D\rangle \langle D|H\rangle }{\frac {1}{\sqrt {2}}}}=|D\rangle }$
${\displaystyle p_{A}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|P_{A}|\psi _{1}\rangle =\langle H|A\rangle \langle A|H\rangle =|\langle H|A\rangle |^{2}=\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle |\psi _{1}^{(A)}\rangle ={\frac {P_{A}|\psi _{1}\rangle }{\sqrt {p_{A}}}}={\frac {|A\rangle \langle A|H\rangle }{\frac {1}{\sqrt {2}}}}=|A\rangle }$

Vzpomeňme si na předchozí příklad, ve kterém se stav prvního fotonu měřením nijak nezměnil. Nyní toto již neplatí! Původně horizontálně polarizovaný foton se měřením v nové bázi změní buď do stavu ${\displaystyle |D\rangle }$, anebo do stavu ${\displaystyle |A\rangle }$. Pravděpodobnosti těchto dvou možností jsou navíc stejné a rovné 1/2, tj. 50 procentům. Pro stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ bychom obdrželi naprosto totožné výsledky. To jest, s 50% pravděpodobností bychom na stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ naměřili hodnotu ${\displaystyle D}$ a stav by se změřením dostal do tvaru ${\displaystyle |D\rangle }$, a s 50% pravděpodobností bychom na stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ obdrželi hodnotu ${\displaystyle A}$ a výsledný stav by zněl ${\displaystyle |A\rangle }$. Měření v bázi určené vektory ${\displaystyle |D\rangle }$ a ${\displaystyle |A\rangle }$ tedy není schopno rozlišit stavy ${\displaystyle |H\rangle }$ a ${\displaystyle |V\rangle }$!

Pro dokončení diskuze obraťme nyní pozornost na stav ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle }$. V předchozím případě se tento stav měřením změnil buď na stav ${\displaystyle |H\rangle }$, nebo na stav ${\displaystyle |V\rangle }$, a to vždy s 50% pravděpodobností. Nyní je ale situace odlišná, protože ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle =|D\rangle }$. Z tohoto vztahu plyne

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{D}(\psi _{3})&=\langle \psi _{3}|P_{D}|\psi _{3}\rangle =\langle D|D\rangle =1,\\p_{A}(\psi _{3})&=\langle \psi _{3}|P_{A}|\psi _{3}\rangle =\langle D|A\rangle =0.\end{aligned}}}$

Hodnotu ${\displaystyle A}$ tedy nenaměříme nikdy. Stav třetího fotonu se měřením v bázi určené vektory ${\displaystyle |D\rangle }$ a ${\displaystyle |A\rangle }$ navíc nezmění, neboť

${\displaystyle |\psi _{3}^{(D)}\rangle ={\frac {P_{D}|\psi _{3}\rangle }{\sqrt {p_{D}}}}={\frac {|D\rangle \langle D|D\rangle }{1}}=|D\rangle =|\psi _{3}\rangle .}$

V právě provedené diskuzi lze tak na jednoduchých příkladech vidět, jak kvantové měření mění stav měřených systémů. Výsledné stavy a odpovídající pravděpodobnosti navíc nezávisejí jen na stavech původních, ale i na zvoleném měření.

Obecně platí, že ve skutečném experimentu je nutno provést dané kvantové měření na velkém počtu systémů, které jsou připraveny ve stejném stavu, abychom získali nějakou užitečnou informaci. Formalizmus použitý v právě provedené diskuzi je schopen určit, jaké budou pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot a jaké jsou odpovídající stavy, ve kterých se bude systém po měření nacházet, za předpokladu, že víme, jaký byl stav systému před měřením. To ale obyčejně nevíme. Pokud vystavíme foton ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ měření v bázi D/A, dostaneme s 50% pravděpodobností výsledek ${\displaystyle D}$ a se stejnou pravděpodoností výsledek ${\displaystyle A}$. Řekněme, že jsme dostali výsledek ${\displaystyle D}$. Co můžeme na základě tohoto výsledku o stavu fotonu před měřením tvrdit? Popravdě řečeno, nic moc. Přísně vzato pouze to, že se nenacházel v polarizaci ${\displaystyle A}$. To je ale tak vše. Především nejsme schopni na základě tohoto jediného měření zjistit, zda se foton nacházel ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, anebo ve stavu ${\displaystyle |\psi _{3}\rangle }$. Je nutno totéž měření opakovat na větším počtu fotonů, abychom mohli jejich stav před měřením určit s dostatečnou přesností.

Často zmiňovaným příkladem zobecněného měření je metoda zvaná jednoznačné rozlišení stavů. Tato metoda umožňuje bez chyby rozlišit dva či více neortogonálních stavů. Cenou za tuto jednoznačnost je ovšem existence jednoho dodatečného výsledku, kterého může měření nabývat. Při naměření tohoto výsledku nelze o původním stavu říci naprosto nic. Zde si uvedeme konkrétní případ dvou neortogonálních čistých stavů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, které jsou tvaru

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle =|0\rangle ,\quad |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ).}$

V reálném světě si tento příklad můžeme představit například tak, že máme jeden foton, jehož polarizace je buď ve stavu ${\displaystyle |0\rangle }$, což můžeme interpretovat jako horizontální polarizaci, anebo ve stavu ${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$, což můžeme zase interpretovat jako diagonální polarizaci. Ačkoli víme, že se foton nachází v jednom z těchto stavů, nevíme ve kterém z nich je. Naším cílem je sestrojit kvantové měření, které vrátí hodnotu 1, nacházel-li se foton před měřením ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, a hodnotu 2, byl-li foton ve stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Protože nejsou tyto dva stavy ortogonální, takové ideální měření neexistuje. Níže si ale ukážeme, že s POVM můžeme sestrojit měření, které se tomu ideálnímu velmi podobá. Musíme si však pomoci zavedením třetí hodnoty, již si označíme symbolem "?". Když pošleme náš foton do tohoto POVM měření, tak můžeme dostat jednu ze tří hodnot: 1, 2 a "?". Obdržíme-li "?", nelze říct, ve kterém stavu se foton nacházel. Pochopitelně bychom chtěli, aby tento poslední neprůkazný výsledek nastával co možná nejméně. Ukazuje se, že každé ze tří hodnot odpovídá jeden operátor a tyto operátory jsou tvaru

${\displaystyle E_{1}=a|\psi _{2}^{\perp }\rangle \langle \psi _{2}^{\perp }|,\quad E_{2}=b|\psi _{1}^{\perp }\rangle \langle \psi _{1}^{\perp }|,\quad E_{?}=\mathbb {I} -E_{1}-E_{2},}$

kde ${\displaystyle |\psi _{1}^{\perp }\rangle }$ je stav kolmý na ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, ${\displaystyle |\psi _{2}^{\perp }\rangle }$ je stav kolmý na ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ a kde ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou kladná čísla, jejichž tvar zní[pozn. 5]

${\displaystyle a=b={\frac {1}{1+|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |}}.}$

Není těžké si rozmyslet, že v našem konkrétním případě platí následující vztahy

${\displaystyle |\psi _{1}^{\perp }\rangle =|1\rangle ,\quad |\psi _{2}^{\perp }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),\quad a=b={\frac {\sqrt {2}}{1+{\sqrt {2}}}}\approx 0,586.}$

V maticovém zápisu v bázi tvořené vektory ${\displaystyle |0\rangle }$ a ${\displaystyle |1\rangle }$ jsou tak měřicí operátory tvaru

${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}a/2&-a/2\\-a/2&a/2\end{pmatrix}},\qquad E_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&a\end{pmatrix}},\qquad E_{?}={\begin{pmatrix}1-a/2&a/2\\a/2&1-3a/2\end{pmatrix}}.}$

Pravděpodobnosti naměření jednotlivých výsledků pro oba vstupní stavy pak nabývají hodnot, které jsou shrnuty v následující tabulce:

Pravděpodobnosti správného určení stavu	Pravděpodobnosti nesprávného určení stavu	Pravděpodobnosti neprůkazného výsledku
${\displaystyle p_{1}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|E_{1}|\psi _{1}\rangle ={\frac {a}{2}}\approx 0,293}$	${\displaystyle p_{1}(\psi _{2})=\langle \psi _{2}|E_{1}|\psi _{2}\rangle =0}$	${\displaystyle p_{?}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|E_{?}|\psi _{1}\rangle =1-{\frac {a}{2}}\approx 0,707}$
${\displaystyle p_{2}(\psi _{2})=\langle \psi _{2}|E_{2}|\psi _{2}\rangle ={\frac {a}{2}}\approx 0,293}$	${\displaystyle p_{2}(\psi _{1})=\langle \psi _{1}|E_{2}|\psi _{1}\rangle =0}$	${\displaystyle p_{?}(\psi _{2})=\langle \psi _{2}|E_{?}|\psi _{2}\rangle =1-{\frac {a}{2}}\approx 0,707}$