Unitární operátor

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

1. ${\displaystyle U}$ je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$
2. ${\displaystyle U}$ je surjektivní a je izometrií, tzn.: ${\displaystyle \|Ux\|=\|x\|\ \forall x\in {\mathcal {H}}}$
3. ${\displaystyle U}$ je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle Ux,Uy\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {H}}}$

Důkaz:

${\displaystyle (1.)\Rightarrow (3.)\Rightarrow (2.)}$

${\displaystyle U^{*}=U^{-1}\Rightarrow \langle x,x\rangle =\langle U^{-1}Ux,x\rangle =\langle U^{*}Ux,x\rangle =\langle Ux,Ux\rangle \Rightarrow \|x\|=\|Ux\|}$

Protože platí ${\displaystyle U^{**}=(U^{-1})^{*}=(U^{*})^{-1}}$, je ${\displaystyle U^{*}}$ též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.

${\displaystyle (2.)\Rightarrow (1.)}$

Označme ${\displaystyle I}$ identické zobrazení a připomeňme, že: ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }$.

${\displaystyle \langle Ix,x\rangle =\langle x,x\rangle =\langle Tx,Tx\rangle =\langle T^{*}Tx,x\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}}\Rightarrow I=T^{*}T}$

Z čehož máme: ${\displaystyle TT^{*}=TT^{*}TT^{-1}=TIT^{-1}=TT^{-1}=I\Rightarrow T^{*}=T^{-1}}$. ∎

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

• Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
• Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
• Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.
• Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí ${\displaystyle n\times n}$, jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.