Rozlišení kvantových stavů

Pro začátek uvažme množinu se dvěma ortogonálními stavy. Mějme tedy kvantový systém, jehož Hilbertův prostor můžeme bez újmy na obecnosti považovat za dvourozměrný a jenž se může nacházet v jednom z následujících dvou stavů: ${\displaystyle |0\rangle }$ nebo ${\displaystyle |1\rangle }$. Tyto dva stavy jsou ortogonální a tvoří tak ortonormální bázi zmíněného Hilbertova prostoru. Měření, které po jediné aplikaci jednoznačně určí, zda se systém nachází v ${\displaystyle |0\rangle }$ či ${\displaystyle |1\rangle }$, je zjevně dáno ortogonálními projektory ${\displaystyle P_{0}=|0\rangle \langle 0|}$ a ${\displaystyle P_{1}=|1\rangle \langle 1|}$. Tyto projektory představují kvantové projektivní měření v bázi ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$.

Uvažme nyní složitější případ, kdy může stav systému nabývat jednoho z těchto tvarů: ${\displaystyle |A\rangle =(1/{\sqrt {2}})(|0\rangle -|1\rangle )}$ nebo ${\displaystyle |D\rangle =(1/{\sqrt {2}})(|0\rangle +|1\rangle )}$. Jak se lze jednoduchým výpočtem snadno přesvědčit, i v tomto případě platí, že ${\displaystyle |A\rangle }$ a ${\displaystyle |D\rangle }$ tvoří ortonormální bázi daného Hilbertova prostoru. Projektivním kvantovým měřením v této bázi tak můžeme jednoznačně určit, zda se systém nachází v ${\displaystyle |A\rangle }$ či ${\displaystyle |D\rangle }$. Explicitním výpočtem totiž zjistíme, že naměřit hodnotu ${\displaystyle A}$ lze pouze tehdy, je-li systém ve stavu ${\displaystyle |A\rangle }$, protože pravděpodobnost ${\displaystyle p}$ naměření hodnoty ${\displaystyle D}$ je pro takový stav rovná nule, jak plyne z Bornova pravidla: ${\displaystyle p=|\langle A|D\rangle |^{2}=0}$. Zcela analogicky pak platí, že hodnotu ${\displaystyle D}$ lze naměřit jen tehdy, je-li systém na počátku ve stavu ${\displaystyle |D\rangle }$.

V obecném případě vícerozměrného Hilbertova prostoru a vícera stavů opět platí, že stav systému lze jednoznačně určit tak, že provedeme (jediné) projektivní měření v bázi tvořené těmito stavy. Formálně vzato, nechť ${\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}_{k=1}^{N}}$ je množina ${\displaystyle N}$ (čistých) kvantových stavů, jež jsou navzájem ortogonální a splňují tak vztahy ${\displaystyle \langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$, kde ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$ a kde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ je Kroneckerovo delta. Sestrojme z těchto stavů ortogonální projektory ${\displaystyle P_{k}}$ ve tvaru ${\displaystyle P_{k}=|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}$. Pak z Bornova pravidla plyne, že pravděpodobnost naměření výsledku ${\displaystyle i}$ pro vstupní stav ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ je rovna ${\displaystyle p(i,|\psi _{j}\rangle )=|\langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle |^{2}=\delta _{ij}}$. Je-li tedy stav systému roven ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ pro jisté konkrétní ${\displaystyle j}$, tak jediná hodnota, pro níž dostaneme nenulovou pravděpodobnost naměření, je právě ${\displaystyle j}$. Tato hodnota tak jednoznačně identifikuje vstupní stav systému.

Nejenže lze ortogonální stavy spolehlivě rozlišit, platí navíc v jistém smyslu i opak. A sice, že stavy neortogonální spolehlivě rozlišit nelze. Jinými slovy, pro množinu neortogonálních (čistých) kvantových stavů neexistuje kvantové měření, které by je bylo schopno s jistotou rozlišit. V následujícím si uvedeme důkaz tohoto tvrzení.

Mějme tedy množinu neortogonálních stavů zadaných kety ${\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}_{k}}$. Existují tedy alespoň dva stavy ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{b}\rangle }$ pro jisté indexy ${\displaystyle a,b}$ tak, že ${\displaystyle \langle \psi _{a}|\psi _{b}\rangle \neq 0}$. Pokud jde o měření, tak projektivní měření jsou speciálním případem měření zobecněných. Pro obecnost tedy uvažujme měření zobecněná, která jsou popsána POVM operátory ${\displaystyle \{E_{i}\}_{i}}$, což jsou pozitivně semidefinitní operátory splňující relaci úplnosti: ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}E_{i}=\mathbb {I} }$. Dokažme si sporem, že neexistuje sada POVM operátorů, která by byla schopná od sebe s jistotou odlišit vektory ${\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}_{k}}$. Matematicky lze tento požadavek vyjádřit vzorcem ${\displaystyle \langle \psi _{k}|E_{i}|\psi _{k}\rangle =\delta _{ik}}$ pro všechny indexy ${\displaystyle i,k}$, kde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ je Kroneckerovo delta. Využijeme-li relace úplnosti, můžeme přepsat skalární součin výchozích stavů do tvaru

${\displaystyle \langle \psi _{a}|\psi _{b}\rangle =\sum _{i}\langle \psi _{a}|E_{i}|\psi _{b}\rangle .}$

Pro libovolný pozitivně definitní operátor ${\displaystyle A}$ lze ukázat variantu Schwarzovy nerovnosti, kde pro libovolné vektory ${\displaystyle |x\rangle }$ a ${\displaystyle |y\rangle }$ platí[pozn. 2]

${\displaystyle |\langle x|A|y\rangle |^{2}\leq \langle x|A|x\rangle \langle y|A|y\rangle .}$

Pro naši konkrétní volbu ${\displaystyle A=E_{i}}$, ${\displaystyle |x\rangle =|\psi _{a}\rangle }$ a ${\displaystyle |y\rangle =|\psi _{b}\rangle }$ dostáváme ${\displaystyle |\langle \psi _{a}|E_{i}|\psi _{b}\rangle |^{2}\leq \langle \psi _{a}|E_{i}|\psi _{a}\rangle \langle \psi _{b}|E_{i}|\psi _{b}\rangle =\delta _{ai}\delta _{bi}}$, jak plyne z předpokladů. Po dosazení do vzorců výše a s využitím trojúhelníkové nerovnosti tak:

${\displaystyle 0<|\langle \psi _{a}|\psi _{b}\rangle |^{2}\leq \sum _{i}|\langle \psi _{a}|E_{i}|\psi _{b}\rangle |^{2}\leq \sum _{i}\delta _{ai}\delta _{bi}=\delta _{ab}=0,}$

kde poslední rovnost plyne z předpokladu, že ${\displaystyle a\neq b}$. Obdrželi jsme tak spor, jak bylo naším cílem. Můžeme tak shrnout, že neexistuje kvantové měření, které by od sebe spolehlivě odlišilo neortogonální vektory.

Srovnání pravděpodobností nechtěného výsledku ${\displaystyle Q}$ pro dvě hlavní metody rozlišení kvantových stavů — rozlišení s minimální chybou (MED) a jednoznačného rozlišení (USD). Pravděpodobnost je vynesena v závislosti na úhlu sevřeném dvěma rozlišovanými stavy ${\displaystyle \Delta \theta }$. Pro zvětšení klikněte na obrázek.

Bylo již několikrát zmíněno, že technik rozlišení neortogonálních stavů existuje více. V tomto ohledu dominují dva přístupy:

• Rozlišení stavů s minimální chybou — Metoda spočívá v provedení projektivního měření, které je zvoleno tak, aby minimalizovalo chybu, to jest pravděpodobnost chybného určení stavu. Výsledkem je tedy vždy hodnota odpovídající jednomu ze vstupních stavů, tato hodnota však může být špatně (s jistou malou pravděpodobností).
• Jednoznačné rozlišení stavů — Metoda spočívá v provedení zobecněného měření, které je zvoleno tak, aby minimalizovalo pravděpodobnost neprůkazného výsledku. Tato metoda dokáže na rozdíl od té předchozí určit původní stav bez chyby. Výměnou za to je však nutnost zavedení neprůkazného výsledku, při jehož naměření nelze o stavu systému zjistit vůbec nic.

Na obrázku vpravo jsou zaneseny pravděpodobnosti "nechtěného" výsledku pro jednoduchý případ rozlišení dvou čistých kvantových stavů se shodnými apriorními pravděpodobnostmi. Oním "nechtěným" výsledkem je pro každou z obou metod něco jiného. V případě rozlišení s minimální chybou je v grafu vynesena oranžovou čarou pravděpodobnost chyby v závislosti na úhlu, který svírají rozlišované stavy. Protože metoda jednoznačného rozlišení určí stav pokaždé správně, je odpovídající chyba vždy nulová. V mnoha případech však namísto určení stavu dojde k obdržení neprůkazného výsledku. V grafu je tedy modrou čarou zanesena pravděpodobnost obdržení tohoto neprůkazného výsledku. Pro označení obou metod jsou použity anglické zkratky MED a USD.

Z krátkého popisu výše a grafu napravo je patrno, že obě metody mají své silné i slabé stránky a každá z nich tak poskytuje různé výhody. Ačkoli například metoda jednoznačného rozlišení nabízí bezchybné určení stavů, je tento klad vyvážen vysokou pravděpodobností naměření neprůkazného výsledku. I přes částečný pokrok není zobecnění těchto a jim podobných technik pro větší počet libovolných kvantových stavů známo a v následující diskuzi se tak většinou omezíme na stavy dva. Obě techniky jsou představeny v samostatné sekci níže.

Existují i další techniky rozlišení stavů, z nichž jednu, nesoucí anglický název maximum confidence measurements[5][6][7], lze chápat jako přechod mezi dvěma výše uvedenými. Tuto metodu lze použít i tehdy, kdy jsou rozlišované stavy lineárně závislé, v kterémžto případě technika jednoznačného rozlišení selhává. Místo minimalizace chyby či pravděpodobnosti neprůkazného výsledku se v ní maximalizuje míra spolehlivosti s jakou můžeme na základě získaného výsledku tvrdit, že byl zkoumaný systém v tom kterém stavu.

Případ neortogonálních kvantových stavů vykazuje jednu dodatečnou komplikaci. Pro volbu konkrétního kvantového měření totiž není důležitý jen tvar kvantových stavů, které od sebe chceme odlišit, ale důležitou roli hraje i četnost výskytu toho kterého stavu. Abychom si tuto situaci ilustrovali, mějme k dispozici velké množství stejných systémů, z nichž se každý může nacházet buď ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, anebo ve stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Pokud je v souboru těchto systémů zastoupen stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ mnohem častěji než ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, je odpovídajícím způsobem pravděpodobnější, že při náhodném výběru konkrétního systému bude tento systém ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Pravděpodobnostem výskytu, se kterými při náhodném výběru získáme systém v tom kterém stavu, se říká apriorní pravděpodobnosti (anglicky: a priori probabilities).

Pokud je tedy apriorní pravděpodobnost stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ velmi vysoká (to jest blízká jedničce), je víceméně jedno, jakého tvaru je stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Tento druhý stav se totiž skoro nikdy nevyskytne. Pro poměrně spolehlivou identifikaci tak stačí stav systému měřit v bázi tvořené vektory ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{1}^{\perp }\rangle }$, kde ${\displaystyle |\psi _{1}^{\perp }\rangle }$ je vektor kolmý na ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. V obecném případě je třeba brát hodnoty apriorních pravděpodobností v úvahu při návrhu konkrétního kvantového měření.

Konstrukce měřicích operátorů pro metodu rozlišení kvantových stavů s minimální chybou. Pro zvětšení klikněte na animaci.

Popišme si tuto techniku na příkladu dvou neortogonálních (a současně nenulových a navzájem různých) čistých stavů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, které leží v Hilbertově prostoru libovolně velké konečné dimenze. Tyto lze bez újmy na obecnosti vyjádřit v nějaké ortonormální bázi ve tvaru[pozn. 3]

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle =\cos(\theta )\,|x_{1}\rangle +\sin(\theta )\,|x_{2}\rangle ,\quad |\psi _{2}\rangle =\cos(\theta )\,|x_{1}\rangle -\sin(\theta )\,|x_{2}\rangle ,}$

kde ${\displaystyle |x_{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |x_{2}\rangle }$ označuje vektory ortonormální báze a kde ${\displaystyle \theta }$ je jisté reálné číslo splňující ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi /4}$[pozn. 4]. Překryv vektorů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ je pak roven nenulovému číslu ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )=\cos(2\theta )}$.

Lze ukázat, že optimální volbou měřicích operátorů pro stavy ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ jsou projektory ${\displaystyle P_{1}=|e_{1}\rangle \langle e_{1}|}$ a ${\displaystyle P_{2}=|e_{2}\rangle \langle e_{2}|}$, kde

${\displaystyle |e_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x_{1}\rangle +|x_{2}\rangle ),\quad |e_{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x_{1}\rangle -|x_{2}\rangle ).}$

V animaci vpravo je nejprve vyobrazena jedna konkrétní volba dvou neortogonálních vektorů a jím odpovídající vektory ${\displaystyle |e_{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |e_{2}\rangle }$. Tyto dva vektory jsou zjevně souměrně rozmístěny kolem vektorů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Lze se snadno přesvědčit, že pokud jsou počáteční vektory ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ navzájem kolmé, a tedy ${\displaystyle \theta =\pi /4}$, zredukují se projektory do tvaru ${\displaystyle P_{1}=|\psi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|}$ a ${\displaystyle P_{2}=|\psi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|}$. Jinými slovy, pro speciální případ dvou ortogonálních vektorů se právě představená metoda zredukuje do techniky rozlišení ortogonálních stavů, která je diskutována v oddíle "Rozlišení ortogonálních stavů".

Provedeme-li měření zadané výše uvedenými projektory a obdržíme-li výsledek odpovídající projektoru ${\displaystyle P_{1}}$, máme velkou šanci, že byl původním stavem systému stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Podobně, naměříme-li hodnotu odpovídající projektoru ${\displaystyle P_{2}}$, je velmi pravděpodobné, že původním stavem byl ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. S jistou pravděpodobností se však může stát, že i když je původním stavem ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ (popř. ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$), obdržíme hodnotu odpovídající projektoru ${\displaystyle P_{2}}$ (popř. ${\displaystyle P_{1}}$). Pokud jsou apriorní pravděpodobnosti stavů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ shodné, je pravděpodobnost chyby ${\displaystyle Q}$, že naše měření špatně určí počáteční stav, v optimálním případě rovna aritmetickému průměru

${\displaystyle Q={\frac {\langle \psi _{1}|P_{2}|\psi _{1}\rangle +\langle \psi _{2}|P_{1}|\psi _{2}\rangle }{2}}={\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}}}\right).}$

Tento výraz je speciálním případem vzorce známého jako Helstromova mez (anglicky: Helstrom bound)[3] a pro výše uvedený tvar překryvu se zredukuje do tvaru ${\displaystyle Q=\sin ^{2}(\theta -\pi /4)}$. Opět, pro ortogonální vektory ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ je pravděpodobnost chybného určení nulová.

Samotná metoda rozlišení kvantových stavů s minimální chybou spočívá v provedení projektivního měření, kde je tvar jednotlivých projektorů přímo závislý na stavech, jež máme za úkol od sebe odlišit. Pro nejjednodušší případ dvou čistých stavů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ se shodnými apriorními pravděpodobnostmi, diskutovaný v předchozí kapitolce, probíhá konkrétní použití metody následovně:

1. Měření: Uvažovaný kvantový systém vystavíme projektivnímu měření, jež je zadané projektory ${\displaystyle \{P_{1},P_{2}\}}$.
2. Interpretace výsledku: Obdržíme-li výsledek "1", byl systém před měřením s pravděpodobností ${\displaystyle 1-Q}$ ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, přičemž ${\displaystyle 1-Q=(1+{\sqrt {1-|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}}})/2}$. Zcela analogicky, je-li výsledek "2", byl systém s pravděpodobností ${\displaystyle 1-Q}$ ve stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. S pravděpodobností ${\displaystyle Q}$ jsme určili původní stav systému nesprávně.

V sekci "Příklad" níže je tato metoda aplikována na konkrétní volbu vektorů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$.

Z předchozí diskuze plyne, že měřicí projektory nabývají tvaru

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}=|e_{1}\rangle \langle e_{1}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{1}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2(1-q^{2})}}}\left({\sqrt {1+{\sqrt {1-q^{2}}}}}|\psi _{1}\rangle -{\sqrt {1-{\sqrt {1-q^{2}}}}}|\psi _{2}\rangle \right),\\P_{2}=|e_{2}\rangle \langle e_{2}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2(1-q^{2})}}}\left(-{\sqrt {1-{\sqrt {1-q^{2}}}}}|\psi _{1}\rangle +{\sqrt {1+{\sqrt {1-q^{2}}}}}|\psi _{2}\rangle \right),\end{aligned}}}$

kde jsme si symbolem ${\displaystyle q}$ označili skalární součin ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$, o němž lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že je to reálné číslo. V obecném případě komplexního skalárního součinu ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =qe^{i\varphi }}$ stačí ve vzorcích výše nahradit každý výskyt vektoru ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ vektorem ${\displaystyle |{\tilde {\psi }}_{2}\rangle =e^{-i\varphi }|\psi _{2}\rangle }$. Dosazením vektorů do vzorců pro projektory lze spočíst jejich explicitní tvar

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&={\frac {1}{2(1-q^{2})}}\left(\left(1+{\sqrt {1-q^{2}}}\right)|\psi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|+\left(1-{\sqrt {1-q^{2}}}\right)|\psi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|-q(|\psi _{1}\rangle \langle \psi _{2}|+|\psi _{2}\rangle \langle \psi _{1}|)\right),\\P_{2}&={\frac {1}{2(1-q^{2})}}\left(\left(1-{\sqrt {1-q^{2}}}\right)|\psi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|+\left(1+{\sqrt {1-q^{2}}}\right)|\psi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|-q(|\psi _{1}\rangle \langle \psi _{2}|+|\psi _{2}\rangle \langle \psi _{1}|)\right).\end{aligned}}}$

S různými apriorními pravděpodobnostmi se mění i tvar měřicích projektorů. Čím pravděpodobnější je výskyt stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, tím více míří vlastní vektor ${\displaystyle |e_{1}\rangle }$ projektoru ${\displaystyle P_{1}}$ právě ve směru stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Zcela analogicky pak i pro stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$.

Graf pravděpodobnosti chybného určení stavu ${\displaystyle Q}$ v závislosti jednak na vzájemném úhlu ${\displaystyle \Delta \theta }$ mezi rozlišovanými stavy, jednak na apriorní pravděpodobnosti ${\displaystyle p}$ pro první stav. Zelenou čarou je vyznačen případ se shodnými apriorními pravděpodobnostmi, který byl podrobně studován v předchozích kapitolkách.

Jak je předesláno v sekci "Role apriorních pravděpodobností", tvar měřicích projektorů je závislý nejen na tvaru rozlišovaných stavů, ale i na pravděpodobnosti, s jakou se mohou vyskytnout. Je-li například pravděpodobnost ${\displaystyle p_{1}}$ výskytu stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ mnohem větší než obdobná pravděpodobnost ${\displaystyle p_{2}}$ pro stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, stačí nám s dobrou šancí správného výsledku předpokládat, že je systém ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, aniž bychom provedli jakékoliv měření. Pokud zohledníme i tyto apriorní pravděpodobnosti ${\displaystyle p_{1}}$ a ${\displaystyle p_{2}}$ a provedeme výše uvedenou diskuzi znovu, obdržíme měřicí projektory ve tvaru[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}=|e_{1}\rangle \langle e_{1}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{1}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2(1-q^{2})}}}\left({\sqrt {1+\kappa -\lambda }}|\psi _{1}\rangle -{\sqrt {1-\kappa }}|\psi _{2}\rangle \right),\\P_{2}=|e_{2}\rangle \langle e_{2}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2(1-q^{2})}}}\left(-{\sqrt {1-\kappa +\lambda }}|\psi _{1}\rangle +{\sqrt {1+\kappa }}|\psi _{2}\rangle \right),\end{aligned}}}$

kde jsme předpokládali ${\displaystyle p_{1}\geq p_{2}}$ a kde dále definujeme

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {1-2p_{2}q^{2}}{\sqrt {(1-2p_{2}q^{2})^{2}+4p_{2}^{2}q^{2}(1-q^{2})}}},\\\lambda &=2q\left(q\kappa -{\sqrt {1-q^{2}}}{\sqrt {1-\kappa ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Lze se snadno přesvědčit, že pro případ shodných apriorních pravděpodobností se zredukují tyto dodatečné parametry do tvarů ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {1-q^{2}}}}$ a ${\displaystyle \lambda =0}$ a měřicí projektory tak nabudou tvarů zmíněných v předchozí kapitolce. Pokud platí opačná nerovnost, to jest ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$, stačí zaměnit oba počáteční stavy ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ a na ně aplikovat výše uvedené vzorce.

Na animaci vpravo je názorně demonstrováno, jak různé hodnoty apriorních pravděpodobností ovlivní tvar měřicích projektorů. Dva stavy, které chceme od sebe odlišit, jsou po celou dobu animace stále tytéž. Co se však mění je pravděpodobnost, s jakou do měřicího přístroje dorazí ten který stav. V obecném případě již projektory nejsou rozmístěny kolem rozlišovaných stavů souměrně. Především je pak z animace patrno, že pokud je apriorní pravděpodobnost ${\displaystyle p_{j}}$ pro daný stav ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ blízká jedničce, je odpovídající projektor ${\displaystyle P_{j}}$ zkonstruován tak, že je jeho vlastní vektor ${\displaystyle |e_{j}\rangle }$ téměř totožný s daným stavem.

Pravděpodobnost chyby je přitom v tomto obecném případě dána výrazem[3][8][9]

${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-4p_{1}p_{2}|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}}}\right),}$

který se pro volbu shodných apriorních pravděpodobností ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=1/2}$ zredukuje do vzorce uvedeného v předchozích kapitolkách. Použijeme-li parametrizaci vstupních stavů pomocí úhlu ${\displaystyle \theta }$, jak je uvedeno v kapitolce "Princip" výše, je jejich vzájemný skalární součin roven ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\cos(\Delta \theta )}$, kde jsme si označili úhel, který tyto dva stavy mezi sebou svírají, symbolem ${\displaystyle \Delta \theta \equiv 2\theta }$. Můžeme si pak vykreslit pravděpodobnost chyby ${\displaystyle Q}$ jako funkci tohoto úhlu a apriorní pravděpodobnosti ${\displaystyle p\equiv p_{1}}$ pro stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, neboť apriorní pravděpodobnost pro stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ je jí již pevně určena vzorcem ${\displaystyle p_{2}=1-p_{1}}$. Výsledný graf je zobrazen napravo. Z tohoto grafu lze snadno vyčíst, že největší hodnota chybného určení, ${\displaystyle Q=1/2}$, nastává zjevně v případě, kdy oba stavy splývají do jednoho a tedy ${\displaystyle \Delta \theta =0}$ a současně ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$. Naproti tomu v případě dvou ortogonálních stavů, ${\displaystyle \Delta \theta =\pi /2}$, je pravděpodobnost chyby pochopitelně nulová. Pro všechny ostatní případy je vidět, že pokud jsou od sebe dané apriorní pravděpodobnosti odlišné, ${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$, je pravděpodobnost chybného určení stavu menší než pro případ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$. Zvyšuje-li se postupně rozdíl mezi apriorními pravděpodobnostmi, dojde nakonec k případu, kdy se jeden ze stavů nevyskytne vůbec, a sice buď ${\displaystyle p_{1}=0}$, anebo ${\displaystyle p_{2}=0}$. V takovém případě víme s jistotou, v jakém stavu se systém nachází a pravděpodobnost chyby je tedy opět nulová.

Rozlišení dvou kvantových stavů s minimální chybou využívá ve své základní verzi projektivního měření a tak, na rozdíl od metody představené v následující kapitole, umožňuje přímočarou realizaci. V článku "Kvantové měření" lze nalézt příklady, jak lze projektivní měření provést v praxi. Experimentálně byla tato metoda studována v roce 1997[10] pro případ rozlišení dvou čistých stavů se shodnými apriorními pravděpodobnostmi, přičemž byly za zkoumaný systém vzaty velmi utlumené světelné pulzy a bylo rozlišováno mezi jejich stavy polarizace. V roce 2001 byl proveden další experiment, v rámci něhož došlo k rozlišování tří a čtyř speciálně zvolených stavů polarizace[11], který již využíval zobecněného měření.

Analýzu provedenou v předchozích kapitolkách lze snadno zobecnit na případ dvou smíšených kvantových stavů. Ke stavům ${\displaystyle \rho _{1}}$ a ${\displaystyle \rho _{2}}$ s apriorními pravděpodobnostmi ${\displaystyle p_{1}}$ a ${\displaystyle p_{2}}$ jsou pak přidruženy po řadě projektory ${\displaystyle P_{1}}$ a ${\displaystyle P_{2}}$, zkonstruované následovně. Definujme si operátor ${\displaystyle \sigma }$ vztahem[7][9]

${\displaystyle \sigma =p_{1}\rho _{1}-p_{2}\rho _{2}.}$

Tento operátor bude mít obecně kladná i nekladná vlastní čísla. Uvažujme tedy podprostor Hilbertova prostoru, který je lineárním obalem všech vlastních vektorů, které odpovídají kladným vlastním číslům. Projektor, který zobrazuje na tento podprostor, označme symbolem ${\displaystyle P_{1}}$. K němu doplňkový projektor je pak projektor ${\displaystyle P_{2}=\mathbb {I} -P_{1}}$. Pravděpodobnost chybného rozlišení je posléze dána vztahem[3][9]

${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}\left(1-\mathrm {Tr} {|\sigma |}\right),}$

kde ${\displaystyle \mathrm {Tr} {|\sigma |}}$ je stopa operátoru ${\displaystyle |\sigma |}$ a kde je dále definováno ${\displaystyle |\sigma |={\sqrt {\sigma ^{\dagger }\sigma }}}$. Druhá odmocnina z operátoru je v tomto případě dobře definována, protože ${\displaystyle \sigma }$ je Hermitovský operátor a tím pádem je operátor ${\displaystyle \sigma ^{\dagger }\sigma }$ vždy pozitivní.

Dosud jsme hovořili pouze o dvou kvantových stavech. Metodu výše lze však zobecnit i na větší počet (smíšených) stavů. V tomto ohledu jsou známy podmínky, jaké musí dané měření splňovat, aby vykazovalo minimální pravděpodobnost chybného určení. Tvar odpovídajících měřicích operátorů lze v zásadě nalézt numericky a dosud bylo analyticky vyřešeno pouze několik speciálních případů. Lze například ukázat, že pokud jsou rozlišované smíšené stavy lineárně nezávislé, je odpovídající měření projektivní[12]. Významným speciálním případem je situace anglicky označovaná jako square-root measurement, což lze do češtiny přeložit jako "odmocninové měření". Jedná se o problém rozlišení většího počtu ${\displaystyle N}$ čistých stavů ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ se shodnými apriorními pravděpodobnostmi ${\displaystyle p_{j}=1/N}$, přičemž jsou tyto stavy tvaru[13][9][7]

${\displaystyle |\psi _{j}\rangle =V|\psi _{j-1}\rangle =V^{j-1}|\psi _{1}\rangle ,}$

kde ${\displaystyle V}$ je nějaký unitární operátor splňující ${\displaystyle V^{N}=\mathbb {I} }$. Ukazuje se, že optimální volba měřicích operátorů ${\displaystyle E_{j}}$, které již nemusí být nutně projektory, zní

${\displaystyle E_{j}=B^{-1/2}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|B^{-1/2},}$

kde jsme si definovali pomocný operátor ${\displaystyle B={\textstyle \sum _{j=1}^{N}}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$. Pravděpodobnost chyby je v takovém případě dána výrazem[9]

${\displaystyle Q=1-{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}|\langle \psi _{j}|B^{-1/2}|\psi _{j}\rangle |^{2}}$.

Konstrukce měřicích operátorů pro metodu jednoznačného rozlišení kvantových stavů. Pro zvětšení klikněte na animaci.

Uveďme si nyní jednoduchý příklad dvou neortogonálních čistých stavů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, jež bychom chtěli od sebe odlišit. Kvůli neortogonalitě nelze vzít za měřicí projektory zobrazení ${\displaystyle E_{1}=|\psi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|}$ a ${\displaystyle E_{2}=|\psi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|}$, protože takovéto projektory samy nejsou ortogonální. Není těžké nahlédnout, že když si zvolíme projektory ve tvaru

${\displaystyle E_{1}=|x_{1}\rangle \langle x_{1}|,\quad E_{2}=|x_{2}\rangle \langle x_{2}|,}$

kde ${\displaystyle |x_{1}\rangle }$ je kolmý na ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ (a podobně ${\displaystyle |x_{2}\rangle }$ je kolmý na ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$), tak platí

${\displaystyle \langle \psi _{1}|E_{2}|\psi _{1}\rangle =0,\quad \langle \psi _{2}|E_{1}|\psi _{2}\rangle =0.}$

To jest, pokud je vstupním stavem stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, tak nikdy nenaměříme projektor ${\displaystyle E_{2}}$, a podobně, pokud je vstupním stavem stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, tak nikdy nenaměříme projektor ${\displaystyle E_{1}}$. Jinými slovy, pokud naměříme ${\displaystyle E_{1}}$, tak vstupním stavem musel být ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a pokud naměříme ${\displaystyle E_{2}}$, tak byl vstupním stavem určitě ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. To nám už dává určitou jistotu o tvaru vstupního stavu. Problémem však stále zůstává neortogonalita projektorů ${\displaystyle E_{1}}$ a ${\displaystyle E_{2}}$, které tak nepopisují projektivní měření. Tuto potíž vyřešíme zavedením třetího operátoru tak, že výsledný soubor operátorů představuje POVM měření. POVM měření nevyžaduje, aby jednotlivé operátory byly na sebe kolmé. Onen třetí operátor, označený symbolem ${\displaystyle E_{?}}$, odpovídá případu, kdy ze získané hodnoty měření nelze určit, ve kterém stavu se systém před měřením nacházel. Jeho tvar zní

${\displaystyle E_{?}=\mathbb {I} -E_{1}-E_{2},}$

kde ${\displaystyle \mathbb {I} }$ je identické zobrazení. Aby operátory ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},E_{?}\}}$ skutečně tvořily POVM měření, musejí být všechny pozitivní (relace úplnosti plyne automaticky z definice operátoru ${\displaystyle E_{?}}$). Tento požadavek lze splnit, zavedeme-li dodatečné parametry ${\displaystyle a_{1}}$ a ${\displaystyle a_{2}}$, které upravují tvar operátorů ${\displaystyle E_{1}}$ a ${\displaystyle E_{2}}$ do podoby

${\displaystyle E_{1}=a_{1}|x_{1}\rangle \langle x_{1}|,\quad E_{2}=a_{2}|x_{2}\rangle \langle x_{2}|.}$

Parametry ${\displaystyle a_{1}}$ a ${\displaystyle a_{2}}$ jsou kladná čísla, která nejsou obecně rovna jedničce, následkem čehož už nejsou operátory ${\displaystyle E_{1}}$ a ${\displaystyle E_{2}}$ projektory. Tato dvě čísla lze zvolit tak, aby operátor ${\displaystyle E_{?}}$ byl pozitivní a navíc aby byla pravděpodobnost naměření neprůkazného výsledku minimální. Ukazuje se, že pro případ shodných apriorních pravděpodobností tato čísla nabývají tvaru ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=1/(1+|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |)}$. Přímočarým výpočtem lze dále ukázat, že operátor ${\displaystyle E_{?}}$ je, podobně jako ${\displaystyle E_{1}}$ a ${\displaystyle E_{2}}$, násobkem jednorozměrného projektoru a sice

${\displaystyle E_{?}={\frac {2q}{1+q}}|x_{?}\rangle \langle x_{?}|,}$

kde jsme si zavedli parametr ${\displaystyle q=\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$, o němž bez újmy na obecnosti předpokládáme, že je kladný. Dále jsme definovali ${\displaystyle |x_{?}\rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2(1+q)}}}$. V animaci napravo je nejprve vyobrazena jedna konkrétní volba dvou neortogonálních vektorů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Z vektorů k nim kolmých ${\displaystyle |x_{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |x_{2}\rangle }$ je posléze sestrojena trojice nejednotkových vektorů ${\displaystyle |e_{1}\rangle ={\sqrt {a_{1}}}|x_{1}\rangle }$, ${\displaystyle |e_{2}\rangle ={\sqrt {a_{2}}}|x_{2}\rangle }$ a ${\displaystyle |e_{?}\rangle ={\sqrt {2q/(1+q)}}|x_{?}\rangle }$.

Pravděpodobnost neprůkazného výsledku, to jest pravděpodobnost naměření ${\displaystyle E_{?}}$, je pak dána výrazem

${\displaystyle p_{?}=|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |.}$

Zdůrazněme, že ač tento vzorec připomíná Bornovo pravidlo, nevyskytuje se v něm druhá mocnina. Právě uvedený příklad byl poprvé studován Ivanovičem, Dieksem a Peresem[4][14][15] a po nich se také pravděpodobnost ${\displaystyle p_{?}}$ nazývá IDP mez (anglicky: IDP limit).

Metoda jednoznačného rozlišení kvantových stavů spočívá v provedení zobecněného měření, kde je tvar jednotlivých měřicích operátorů přímo závislý na stavech, které mají být od sebe rozlišeny. Pro nejjednodušší případ dvou čistých stavů ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ se shodnými apriorními pravděpodobnostmi, diskutovaný v předchozí kapitolce, probíhá konkrétní použití metody následovně:

1. Měření: Uvažovaný kvantový systém vystavíme zobecněnému měření, jež je zadané operátory ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},E_{?}\}}$.
2. Interpretace výsledku: Obdržíme-li výsledek "1", byl systém před měřením zcela jistě ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Zcela analogicky, je-li výsledek "2", byl systém zcela jistě ve stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Pokud však obdržíme výsledek "?", k čemuž dojde s pravděpodobností ${\displaystyle p_{?}=|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |}$, nelze o stavu systému před měřením nic říci.

V sekci "Příklad" je tento postup uplatněn na příkladu dvou konkrétních čistých stavů.

Z předchozí diskuze plyne, že měřicí operátory jsou explicitního tvaru

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}=|e_{1}\rangle \langle e_{1}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{1}\rangle &={\frac {1}{1+q}}{\frac {1}{\sqrt {1-q}}}(|\psi _{1}\rangle -q|\psi _{2}\rangle ),\\E_{2}=|e_{2}\rangle \langle e_{2}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{2}\rangle &={\frac {1}{1+q}}{\frac {1}{\sqrt {1-q}}}(|\psi _{2}\rangle -q|\psi _{1}\rangle ),\\E_{?}=|e_{?}\rangle \langle e_{?}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{?}\rangle &={\frac {\sqrt {q}}{1+q}}(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle ),\end{aligned}}}$

kde jsme položili ${\displaystyle q=\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$, o němž předpokládáme, že je to kladné číslo. V obecném případě komplexního skalárního součinu ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =qe^{i\varphi }}$ stačí ve vzorcích výše nahradit každý výskyt vektoru ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ vektorem ${\displaystyle |{\tilde {\psi }}_{2}\rangle =e^{-i\varphi }|\psi _{2}\rangle }$. Připomeňme, že tyto operátory nejsou projektory, protože vektory ${\displaystyle |e_{j}\rangle }$ nejsou jednotkové.

S různými apriorními pravděpodobnostmi se mění i tvar měřicích operátorů. Čím pravděpodobnější je výskyt stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$, tím více míří vlastní vektor ${\displaystyle |e_{1}\rangle }$ operátoru ${\displaystyle E_{1}}$ právě ve směru stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Pro dostatečně velkou apriorní pravděpodobnost ${\displaystyle p_{1}}$ zdegeneruje POVM do projektivního měření. Zcela analogicky pak i pro stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$.

Graf pravděpodobnosti obdržení neprůkazného výsledku ${\displaystyle Q}$ v závislosti jednak na vzájemném úhlu ${\displaystyle \Delta \theta }$ mezi dvěma rozlišovanými vektory ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ a jednak na apriorní pravděpodobnosti ${\displaystyle p}$ pro první stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$. Zelenou čarou je vyznačen případ se shodnými apriorními pravděpodobnostmi, který byl podrobně studován v předchozích kapitolkách.

Stejně jako v případě rozlišení stavů s minimální chybou, diskutovaném výše, i v případě jednoznačného rozlišení spoluurčují apriorní pravděpodobnosti výsledný tvar měřicích operátorů. Na rozdíl od předchozí metody mají však jejich hodnoty výraznější vliv na druh provedeného měření. Existuje totiž oblast hodnot, pro něž se POVM měření zredukuje na měření projektivní. Bez újmy na obecnosti pro konkrétnost předpokládejme, že se stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ může vyskytnout častěji než stav ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ a pro jejich apriorní pravděpodobnosti tedy platí ${\displaystyle p_{1}\geq p_{2}}$. (V opačném případě stačí pouze zaměnit označení obou vstupních stavů.) V závislosti na hodnotě ${\displaystyle p_{1}}$ mohou nastat dvě možnosti, z nichž je každá rozebrána v samostatné kapitolce níže.

První možností je případ, kdy platí nerovnost ${\displaystyle p_{1}\leq 1/(1+q^{2})}$, přičemž opět bez újmy na obecnosti předpokládáme, že ${\displaystyle q=\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$ je kladné číslo. Tuto nerovnost lze chápat tak, že obě apriorní pravděpodobnosti ${\displaystyle p_{1}}$ a ${\displaystyle p_{2}}$ nabývají srovnatelných hodnot a jedna tak není příliš odlišná od druhé. Definujeme-li si pomocný parametr

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {p_{2}}{p_{1}}}},}$

lze tuto nerovnost přepsat do tvaru ${\displaystyle q\leq r}$. Měřicí operátory pak nabývají podob[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}=|e_{1}\rangle \langle e_{1}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{1}\rangle &={\frac {1}{1-q^{2}}}{\sqrt {1-q\,r}}(|\psi _{1}\rangle -q|\psi _{2}\rangle ),\\E_{2}=|e_{2}\rangle \langle e_{2}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{2}\rangle &={\frac {1}{1-q^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {q}{r}}}}(|\psi _{2}\rangle -q|\psi _{1}\rangle ),\\E_{?}=|e_{?}\rangle \langle e_{?}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{?}\rangle &={\frac {1}{1-q^{2}}}{\sqrt {\frac {q}{r}}}(\left(r-q\right)|\psi _{1}\rangle +\left(1-qr\right)|\psi _{2}\rangle ).\end{aligned}}}$

V obecném případě komplexního skalárního součinu ${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =qe^{i\varphi }}$ stačí ve vzorcích výše nahradit každý výskyt vektoru ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ vektorem ${\displaystyle |{\tilde {\psi }}_{2}\rangle =e^{-i\varphi }|\psi _{2}\rangle }$. Právě uvedená volba vektorů je vyznačena v animaci napravo. Vstupní stavy ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ zůstávají po celou dobu animace tytéž, mění se však jejich apriorní pravděpodobnosti. Počáteční souměrný případ se shodnými pravděpodobnostmi ${\displaystyle p_{1}=p_{2}=1/2}$ přechází do případů, kdy je vektor ${\displaystyle |e_{?}\rangle }$ nakloněn více k jednomu ze vstupních vektorů. V jistou chvíli se naklánění zastaví, což je příznakem případu diskutovaného v následující kapitolce.

Pravděpodobnost neprůkazného výsledku je v případě ${\displaystyle q\leq r}$ dána obecným výrazem[8][9]

${\displaystyle Q=2{\sqrt {p_{1}p_{2}}}|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |.}$

V trojrozměrném grafu napravo je tento vzorec vykreslen oranžovou barvou. V grafu je vynesena pravděpodobnost neprůkazného výsledku ${\displaystyle Q}$ jednak jako funkce úhlu ${\displaystyle \Delta \theta }$, který mezi sebou svírají dva vstupní stavy ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, jednak jako funkce apriorní pravděpodobnosti ${\displaystyle p\equiv p_{1}}$ pro stav ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$.

V případě, že ${\displaystyle p_{1}>1/(1+q^{2})}$ a apriorní pravděpodobnost ${\displaystyle p_{1}}$ tak výrazně převyšuje pravděpodobnost druhou ${\displaystyle p_{2}}$, dochází k degeneraci měřicích operátorů. Předpokládáme-li stále, že ${\displaystyle p_{1}\geq p_{2}}$, nabývají měřicí operátory v tomto zdegenerovaném případě následujícího tvaru

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}=|e_{1}\rangle \langle e_{1}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{1}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}}}}(|\psi _{1}\rangle -q|\psi _{2}\rangle ),\\E_{?}=|e_{?}\rangle \langle e_{?}|,\quad {\text{kde}}\quad |e_{?}\rangle &=|\psi _{2}\rangle .\end{aligned}}}$

Nejen že se počet operátorů snížil ze tří na dva, ale současně se jim odpovídající měření změnilo z POVM měření na měření projektivní. Vektory ${\displaystyle |e_{1}\rangle }$ a ${\displaystyle |e_{?}\rangle }$ jsou totiž jednotkové a navzájem kolmé a tak jsou nyní operátory ${\displaystyle E_{1}}$ a ${\displaystyle E_{?}}$ ortogonálními projektory o nichž dále platí, že se sečtou na identitu, to jest ${\displaystyle E_{1}+E_{?}=\mathbb {I} }$.

Pravděpodobnost neprůkazného výsledku je v tomto případě dána vzorcem[8][9]

${\displaystyle Q=p_{2}+p_{1}|\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle |^{2}.}$

V grafu napravo je oblast, pro níž platí výše uvedené vzorce, vykreslena červenou barvou. Jak lze snadno nahlédnout, pravděpodobnost neprůkazného výsledku plynule přechází z oranžové oblasti, odpovídající podmínce ${\displaystyle p_{1}\leq 1/(1+q^{2})}$, do oblasti červené, pro níž ${\displaystyle p_{1}>1/(1+q^{2})}$.

Tato technika došla již mnoha experimentálních realizací. Nejprve pro rozlišení dvou neortogonálních stavů[16][17], pak tří [18] a v roce 2014 byla metoda experimentálně provedena až pro 14 různých stavů[19]. Z pohledu realizace je POVM měření, na rozdíl od měření projektivního, komplikovanější a existují různé způsoby jak toto měření experimentálně provést. Níže si předvedeme možnosti dvě.

Jednou z možností je nechat zkoumaný kvantový systém nejprve interagovat s jistým pomocným systémem a tento druhý systém následně vystavit vhodně zvolenému projektivnímu měření. Pro konkrétnost si za zkoumaný systém vezměme jediný foton, kde uvažujeme kvantový stav jeho frekvence. Předpokládejme, že jeho frekvence se s apriorní pravděpodobností ${\displaystyle p_{1}}$ nachází ve stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ a podobně s pravděpodobností ${\displaystyle p_{2}}$ ve stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$. Nechť dále tyto pravděpodobnosti vyhovují případu diskutovanému v kapitolce "Srovnatelné pravděpodobnosti" výše. Měření, které tedy máme na fotonu provést, je popsáno třemi POVM operátory.

Z experimentálního hlediska lze tyto operátory implementovat tak, že nejprve necháme foton zinteragovat s nějakým pomocným systémem, jaký může být třeba jistý atom, kde přesně nastavíme průběh interakce. Je-li počáteční stav pomocného systému udán vektorem ${\displaystyle |\phi _{0}\rangle }$, nacházejí se oba systémy před interakcí buď ve společném stavu ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle |\phi _{0}\rangle }$, nebo ve stavu ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle |\phi _{0}\rangle }$. Interakce změní tyto stavy způsobem

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle |\phi _{0}\rangle \quad \to \quad &\alpha _{1}|r_{1}\rangle |\phi _{a}\rangle +\beta _{1}|n\rangle |\phi _{b}\rangle ,\\|\psi _{2}\rangle |\phi _{0}\rangle \quad \to \quad &\alpha _{2}|r_{2}\rangle |\phi _{a}\rangle +\beta _{2}|n\rangle |\phi _{b}\rangle ,\end{aligned}}}$

kde ${\displaystyle \langle r_{1}|r_{2}\rangle =0}$ a ${\displaystyle \langle \phi _{a}|\phi _{b}\rangle =0}$ a kde konkrétní hodnoty koeficientů ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2}}$ závisejí na tvaru vstupních stavů a apriorních pravděpodobnostech. Pokud nyní provedeme projektivní měření na pomocném systému a ne na zkoumaném fotonu, odpovídá tato procedura POVM měření, jež je provedeno na zkoumaném fotonu.