Platónské těleso
Platónské těleso je v geometrii pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran[1] a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.
Trojrozměrných platónských těles je pět:
- Čtyřstěn (animace)
- Osmistěn (animace)
- Dvanáctistěn (animace)
- Dvacetistěn (animace)
Tabulka vlastností platónských těles
Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:
Název | Obrázek | Počet stěn | Počet hran | Počet vrcholů | Typ stěny | Počet hran u vrcholu | Povrch (hrana délky a) | Objem (hrana délky a) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pravidelný čtyřstěn (tetraedr) | (animace) |
4 | 6 | 4 | trojúhelník | 3 | ||
Krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr) | (animace) |
6 | 12 | 8 | čtverec | 3 | ||
Pravidelný osmistěn (oktaedr) | (animace) |
8 | 12 | 6 | trojúhelník | 4 | ||
Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr) | (animace) |
12 | 30 | 20 | pětiúhelník | 3 | ||
Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr) | (animace) |
20 | 30 | 12 | trojúhelník | 5 |
Dualismus
Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).
Historie
Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427–347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.
Eukleidés sepsal kompletní matematický popis platónských těles ve svých Základech, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Tvrzení 13-17 v knize XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kulové plochy s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohostěny neexistují.
Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.
Přírodní vědy
Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula fluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.
Vyšší dimenze
Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.
- Ve čtyřrozměrném prostoru jich je šest: 5nadstěn, teserakt, 16nadstěn, 24nadstěn, 120nadstěn, 600nadstěn.
- V prostorech dimenze vyšší než čtyři existují vždy právě tři pravidelné mnohostěny: zobecnění čtyřstěnu, zobecnění krychle a její duální těleso – zobecnění osmistěnu.
Odkazy
Poznámky
- Ekvivalentní definice říká, že v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Platonic solid na anglické Wikipedii.
Související články
- Polopravidelná tělesa
- Čtyřrozměrná platónská tělesa
- n-rozměrná platónská tělesa
- Archimédovské těleso
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Platónské těleso na Wikimedia Commons
- http://www.darius.cz/ag_nikola/cl_dvanacti.html
- http://telesa.wz.cz (databáze těles)