Pětiúhelník

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

• poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
• jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru ${\displaystyle 1:1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$.

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu ${\displaystyle S}$ [${\displaystyle x_{0}}$; ${\displaystyle y_{0}}$], obdržíme při poloměru kružnice opsané ${\displaystyle k}$ a natočení vrcholu nejbližšího ose ${\displaystyle x}$ v jejím kladném směru o úhel ${\displaystyle \omega }$ oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

	x	y
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos \omega \,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin \omega \,\!}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!}$
${\displaystyle X_{4}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!}$
${\displaystyle X_{5}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!}$

Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:

	x	y
${\displaystyle Y_{1}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{2}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{3}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{4}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle Y_{5}}$	${\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

• Penroseovo dláždění

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pětiúhelník na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo pětiúhelník ve Wikislovníku
• Encyklopedické heslo Pětiúhelník v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Nová pětiúhelníková dlaždice unikala vědcům více než stovku let