Čtyřrozměrná platónská tělesa

Jedná se o čtyřrozměrné analogie trojrozměrných platónských těles. Tyto poprvé popsal švýcarský matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Zjistil, že jich existuje právě šest (5nadstěn, teserakt (8nadstěn), 16nadstěn, 24nadstěn, 120nadstěn a 600nadstěn). Pět z nich je možno chápat jako vícedimenzionální analogii konkrétních pěti platónských těles v trojrozměrném prostoru (5nadstěn, teserakt, 16nadstěn, 120nadstěn a 600nadstěn). Navíc ve čtyřrozměrném prostoru existuje ještě šesté těleso (24nadstěn), které nemá mezi trojrozměrnými platónskými tělesy ekvivalent.

Tabulka

Název	Počet stěn	Počet hran	Počet vrcholů	Typ nadstěny	Typ stěny	Počet hran u vrcholu	Počet stěn u vrcholu	Počet nadstěn u vrcholu	2D povrch	3D povrch	4D objem
Pentachoron (5nadstěn)	10	10	5	Čtyřstěn	Trojúhelník	4	6		${\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\;\ a^{2}\,$	${\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;\ a^{3}\,$	${\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\,$
Teserakt (8nadstěn)	24	32	16	Krychle	Čtverec	4	6		$24\ a^{2}\,$	$8\ a^{3}\,$	$a^{4}\,$
Ortoplex (16nadstěn)	32	24	8	Čtyřstěn	Trojúhelník				$8{\sqrt {3}}\ a^{2}$	${\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\ a^{3}$	${\frac {a^{4}}{6}}$
Ikositetrachoron (24nadstěn)	96	96	24	Osmistěn	Trojúhelník	6			$24{\sqrt {3}}\ a^{2}$	$8{\sqrt {2}}\ a^{3}$	$2\ a^{4}$
Hekatonikosachoron (120nadstěn)	720	1200	600	Dvanáctistěn	Pětiúhelník			4	$180{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}$	$30(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$	${\sqrt {{\frac {1125}{8}}\left(2207+987{\sqrt {5}}\right)}}a^{4}$
Hexakosichoron (600nadstěn)	1200	720	120	Čtyřstěn	Trojúhelník	10		20	$300{\sqrt {3}}\ a^{2}$	$50{\sqrt {2}}\ a^{3}$	${\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}$

Dualismus

Podobně jako ve 3D i 4D platónská tělesa jsou duální.

5nadstěn je duální sám se sebou.
Teserakt a 16nadstěn jsou navzájem duální.
24nadstěn je duální sám se sebou.
120nadstěn a 600nadstěn jsou navzájem duální.

Související články

Platónské těleso

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.