Ortogonální souřadnice

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic , jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

,

kde je dimenze prostoru a funkce (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru .

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice jako . Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru jako

,

kde jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic . Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

Tedy např. integrál po křivce má v ortogonálních souřadnicích tvar

,

kde je složka vektoru ve směru -tého jednotkového vektoru

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát , kde , a pro infinitezimální element objemu , kde a . Např. integrál přes plochu ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

Diferenciální operátory ve třech rozměrech

Gradient lze vyjádřit jako

Laplaceův operátor má tvar

Operátor divergence se zapíše jako

kde je -tá složka vektoru .

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

Příklady

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.