Laplaceův operátor

Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem $\Delta$ .

Laplace je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Matematický popis

Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar

\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla =\mathrm {div} \,\mathrm {grad}

.

Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, v n-rozměrném euklidovském prostoru se zapisuje jako

\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}

nebo speciálně

\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.

v prostoru trojrozměrném euklidovském.

Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem $\square$ [pozn. 1] a má tvar

\square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

\Delta f={1 \over r}{\partial  \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.

Ve sférických souřadnicích:

\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}},

nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích

\Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejichž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃, je vyjádření Laplaceova operátoru

\Delta f={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\right)\right)

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy

\Delta {f}=\left(f_{;i}g^{ik}\right)_{;k}={{f}^{;k}}_{;k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right),

kde g označuje absolutní hodnotu determinantu metrického tenzoru. Poslední vzorec platí v riemannovských prostorech libovolné dimenze.

Poznámky

Výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem $\square ^{2}$ ; symbol $\square$ je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla.

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem $\square ^{2}$ ; symbol $\square$ je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla.