Parita funkce
V matematice některé funkce vykazují jisté druhy symetrie, označované jako parita. Konkrétně se funkce osově souměrné podle osy y označují jako sudé, zatímco funkce středově souměrné podle počátku jako liché funkce. Obecně funkce nemusí být ani lichá, ani sudá; a funkce konstantně rovná nule je zároveň sudá i lichá. Každou funkci, jejíž definiční obor je symetrický vůči počátku, lze jednoznačně vyjádřit jako součet jedné sudé a jedné liché funkce.
Sudé funkce
Funkce je sudá funkce, pokud pro všechna , pro která je definováno, je definováno i a platí .
To právě znamená, že graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.
Mezi sudé funkce patří všechny mocninné funkce se sudým mocnitelem (např. x2, x−4), dále také například konstantní funkce, absolutní hodnota nebo kosinus (i hyperbolický). Složitějším příkladem sudé funkce je Dirichletova funkce.
Liché funkce
Funkce je lichá funkce, pokud pro všechna , pro která je definováno, je definováno i a platí .
To právě znamená, že graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic.
Mezi liché funkce patří všechny mocninné funkce s lichým mocnitelem (např. x, x3, 1/x), dále také např. znaménková funkce sgn, sinus a tangens (i hyperbolické), stejně jako funkce k nim inverzní, tzn. cyklometrické funkce , a hyperbolometrické , .
Vlastnosti
Základní vlastnosti
- Pokud je lichá funkce definovaná v počátku, tak tam musí mít funkční hodnotu 0.
- Funkce, která je zároveň sudá i lichá, je jedině nulová funkce f(x) = 0 (s definičním oborem symetrickým kolem nuly).
- Sudá funkce nemůže být ryze monotónní (ledaže by byla triviálně definovaná jen v počátku).
- Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce.
- Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce.
- Součet liché a sudé funkce není ani lichá ani sudá funkce, ledaže by jeden ze sčítanců byla nulová funkce (viz níže rozklad na sudou a lichou část).
- Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce, součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
- Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
- Inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce.
- Složená funkce s vnitřní funkcí sudou a libovolnou vnější funkcí je sudá. Složená funkce s vnitřní funkcí lichou je lichá pro vnější funkci lichou a sudá pro vnější funkci sudou.
Algebraické vlastnosti
- Lineární kombinace sudých funkcí je sudá funkce, sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Obdobně je lineární kombinace lichých funkcí lichá funkce a liché funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly.
- Vektorový prostor všech reálných funkcí je direktní součet vektorových prostorů sudých a lichých funkcí, tzn. libovolnou funkci (s definičním oborem symetrickým kolem nuly) lze jednoznačně rozložit na součet sudé a liché funkce:
Např. přirozená exponenciála se takto rozkládá na svou sudou část – hyperbolický kosinus a lichou část – hyperbolický sinus:
Analytické vlastnosti
- Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.
- Libovolná primitivní funkce k liché funkci definované na intervalu je sudá funkce, ale nejvýše jedna primitivní funkce k sudé funkci může být lichá.
- Taylorův polynom sudé funkce v počátku obsahuje pouze sudé mocniny, u liché funkce obsahuje pouze liché mocniny.
- Taylorova řada sudé funkce v počátku (tj. Maclaurinova řada) obsahuje pouze sudé mocniny, u liché funkce obsahuje pouze liché mocniny.
- Fourierova řada periodické sudé funkce obsahuje pouze kosinové členy, Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinové členy.