Integrálsinus

Integrálsinus je matematický pojem označující funkci definovanou jako integrál

Graf funkce Si(x) pro 0 ≤ x ≤ 8 π.

${\displaystyle \operatorname {Si} \,x=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots }$,

který není vyjádřitelný pomocí elementárních funkcí. Řada byla získána prostým integrováním mocninné řady pro ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ člen po členu. V bodě ${\displaystyle x=0}$ má funkce hodnotu 0.

Z tvaru mocninné řady je zřejmé, že jde o funkci lichou. Pro ${\displaystyle x>0}$ má extrémy v bodech ${\displaystyle n\pi }$, kde ${\displaystyle n}$ je přirozené číslo, přičemž lichým ${\displaystyle n}$ odpovídají maxima a sudým minima.

Pomocí reziduové věty lze vypočítat, že

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\operatorname {Si} \,x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}dt={\frac {\pi }{2}}}$