Plošný integrál

Máme-li spočítat plošný integrál I. druhu přes plochu A ze skalární funkce f (spojité na ploše)

${\displaystyle \int _{A}f\,dS}$,

nejprve vypočteme tečné vektory parametrických křivek ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{du}}}$ a ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dv}}}$, ze kterých už snadno dostaneme diferenciální formu obsahu elementu plochy (jedná se o obsah elementárního rovnoběžníka):

${\displaystyle dS=\left\|{\frac {d\mathbf {r} }{du}}\times {\frac {d\mathbf {r} }{dv}}\right\|du\,dv}$

Intuitivně dosadíme za ${\displaystyle dS}$ a převedeme výpočet na dvojný integrál přes část roviny.

${\displaystyle \int _{A}f\,dS=\int _{\Omega }f(\mathbf {r} (u,v))\left\|{\frac {d\mathbf {r} }{du}}\times {\frac {d\mathbf {r} }{dv}}\right\|du\,dv}$

Integrál nezávisí na tom, kterou ekvivalentní parametrizaci dané plochy si zvolíme, jen na hodnotách funkce na ploše a ploše samotné.

Plošný integrál druhu jedničky je roven obsahu plochy:

${\displaystyle \int _{A}1\,dS=\int _{A}dS=S(A)}$

Fyzikální význam je hodnota skalární veličiny (např. hmotnosti) z její zadané plošné hustoty na dané ploše.

Plošný integrál II. druhu (vektorové funkce neboli vektorového pole) vyjadřuje fyzikálně skalární tok daného vektorového pole danou plochou (např. průtok kapaliny plochou průřezu trubice). Je definován (značení jako u integrálu 1. druhu, zde navíc tečka značí skalární součin) jako

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\Omega }\mathbf {f} \cdot ({\frac {d\mathbf {r} }{du}}\times {\frac {d\mathbf {r} }{dv}})du\,dv}$.

Lze ho převést na integrál I. druhu tak, že ho počítáme jako integrál I. druhu z normálové složky vektorového pole (skalárního součinu pole s jednotkovým vektorem normály plochy):

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{A}\mathbf {f} \cdot (\mathbf {n} \ \mathrm {d} S)=\int _{A}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {n} )\ \mathrm {d} S=\int _{A}f_{n}\ \mathrm {d} S.}$

Hodnota integrálu II. druhu závisí na parametrizaci plochy jen znaménkem - závisí na její orientaci. Uzavřené plochy (např. kulová) se většinou orientují směrem ven, ve směru vnější normály.

Je pozoruhodné a nikoli evidentní, že plošný integrál II. druhu lze převést na integrál objemový přes vnitřek u uzavřené plochy (pomocí Gaussovy věty) anebo na křivkový integrál II. druhu přes její okraj (cirkulaci) u otevřené plochy (Stokesova věta).