Distribuce (matematika)

Mějme přirozené číslo ${\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} }$. Označme množinu všech hladkých funkcí s kompaktním nosičem definovaných na ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ jako ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}\equiv {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ a nazývejme ji prostor testovacích funkcí (každou funkci z tohoto prostoru tedy nazýváme testovací funkce). Uvažujme na tomto prostoru takovou topologii, v níž posloupnost testovacích funkcí ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konverguje k testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ na prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$, právě když mají funkce ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ stejnoměrně omezené nosiče a pro každý multiindex ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n}}$ je pro ${\displaystyle \scriptstyle k\to \infty }$ splněno

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{k}\rightrightarrows \partial ^{\alpha }\varphi \quad {\text{na}}\ \mathbb {R} ^{n},}$

kde symbol ${\displaystyle \scriptstyle \rightrightarrows }$ značí stejnoměrnou konvergenci a symbol ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\alpha }}$ označuje parciální derivaci funkce podle proměnných, jejichž index leží v multiindexu ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$. Neboli

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi \equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x^{i_{1}}\,\ldots ,\,\partial x^{i_{n}}}}\varphi ,}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =(i_{1},\ldots ,i_{n})}$ a ${\displaystyle \scriptstyle |\alpha |\equiv i_{1}+\ldots +i_{n}}$, ${\displaystyle \scriptstyle (\forall j\in \{1,\ldots ,n\})(i_{j}\in \mathbb {N} )}$.

V dalším je užitečné neuvažovat zobecněné funkce definované na celém prostoru, ale jen na jeho podmnožině. K tomu si zaveďme následující pojem.

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle G}$ je otevřená podmnožina ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Definujme prostor ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$ jako množinu těch testovacích funkcí z ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$, jejichž nosič leží v ${\displaystyle \scriptstyle G}$. Obdobně jako u ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$ si na ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$ zaveďme konvergenci posloupnosti testovacích funkcí. O posloupnosti ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ testovacích funkcí z ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$ řekneme, že konverguje k ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$, právě když platí současně:

1. ${\displaystyle (\exists K\subset G,K\ {\text{kompaktní}})(\forall k\in \mathbb {N} )({\text{supp}}\ \varphi _{k}\subset K),}$
2. ${\displaystyle (\forall \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n})(\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\rightrightarrows \partial ^{\alpha }\varphi \ {\text{na}}\ G\ {\text{pro}}\ k\to \infty ).}$

Symbolem ${\displaystyle \scriptstyle {\text{supp}}\ \varphi }$ označujeme nosič funkce ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$.

Definujeme, že lineární zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle P:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$, popř. ${\displaystyle \scriptstyle f:{\mathcal {D}}\to \mathbb {C} }$, je spojité, právě když toto zobrazení zobrazuje každou posloupnost, která konverguje v ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$, opět na konvergentní posloupnost. Lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$, který je spojitý ve smyslu předchozí věty, nazveme zobecněnou funkcí neboli distribucí. Množinu všech těchto zobecněných funkcí označíme ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)}$, pro ${\displaystyle \scriptstyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ budeme pro odpovídající množinu zobecněných funkcí používat označení ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'}$. Hodnotu funkcionálu ${\displaystyle \scriptstyle f}$ na testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ budeme (namísto obvyklého ${\displaystyle \scriptstyle f(\varphi )}$) značit ${\displaystyle \scriptstyle (f,\varphi )}$. Toto značení nepřipomíná značení skalárního součinu náhodně, pro analogii viz regulární zobecněné funkce níže.

Linearita zobecněné funkce ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)}$ znamená, že

${\displaystyle (\forall \varphi ,\psi \in {\mathcal {D}}(G))(\forall \alpha \in \mathbb {C} ){\big (}(f,\alpha \varphi +\psi )=\alpha (f,\varphi )+(f,\psi ){\big )}.}$

Navíc na množině ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)}$ lze klasickým způsobem zavést operace sčítání dvou zobecněných funkcí a jejich násobení komplexním číslem. A sice

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))(\forall \alpha \in \mathbb {C} )(\forall f,g\in {\mathcal {D}}'(G)){\big (}(\alpha f+g,\varphi )=\alpha (f,\varphi )+(g,\varphi ){\big )}.}$

Je snadné ukázat, že množina zobecněných funkcí ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)}$ s výše zavedenými operacemi sčítání a násobení číslem tvoří vektorový prostor. Budeme-li navíc uvažovat výraz ${\displaystyle \scriptstyle (f,\varphi )}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)}$, jako hodnotu zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle (\cdot ,\cdot ):{\mathcal {D}}'(G)\times {\mathcal {D}}(G)\to \mathbb {C} }$ dvou proměnných s argumenty ${\displaystyle \scriptstyle f}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$, tak je toto zobrazení bilineární.

Definujme nyní konvergenci posloupnosti zobecněných funkcí. Řekneme, že posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ zobecněných funkcí konverguje k ${\displaystyle \scriptstyle f}$ v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)}$, právě když pro každou testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)}$ existuje limita číselné posloupnosti funkčních hodnot funkcí ${\displaystyle \scriptstyle f_{k}}$ na ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ a tato posloupnost konverguje k ${\displaystyle \scriptstyle (f,\varphi )}$. V symbolech

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))(\exists \lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )\wedge \lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )=(f,\varphi )).}$

Konvergence na prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'(G)}$ je tedy zavedena ve slabém smyslu.

O zobecněné funkci řekneme, že je reálná, právě když zobrazuje každou reálnou testovací funkci na reálné číslo. Lze definovat i komplexně sdruženou zobecněnou funkci ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {f}}}$ k zobecněné funkci ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'}$ vztahem

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}})(({\bar {f}},\varphi )={\overline {(f,{\bar {\varphi }})}}).}$

V tuto chvíli lze zavést i reálnou a imaginární část zobecněné funkce ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)}$ vztahy

${\displaystyle {\text{Re}}\,f={\frac {f+{\bar {f}}}{2}},\quad {\text{Im}}\,f={\frac {f-{\bar {f}}}{2\mathrm {i} }}.}$

Zobecněná funkce je zjevně reálná, právě když je rovna své reálné části.

Ačkoli, jak již bylo zmíněno, nemůžeme hovořit o hodnotě zobecněné funkce v bodě, lze zavést pojem nosiče zobecněné funkce. Než tak učiníme, řekněme si, co chápeme pod tím, že je někde zobecněná funkce nulová. Mějme otevřenou množinu ${\displaystyle \scriptstyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ a zobecněnou funkci ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$. Pak řekneme, že ${\displaystyle \scriptstyle f}$ je rovna nule na množině ${\displaystyle \scriptstyle G}$, právě když

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))\left((f,\varphi )=0\right).}$

Navíc, řekneme, že ${\displaystyle \scriptstyle f}$ je rovna nule lokálně na množině ${\displaystyle \scriptstyle G}$, právě když

${\displaystyle (\forall x\in G)(\exists U=U^{\circ }\subset G,x\in U)(f\ {\text{je rovna nule na}}\ U).}$

Je jasné, že pokud je ${\displaystyle \scriptstyle f}$ rovna nule na ${\displaystyle \scriptstyle G}$, tak je rovna nule i na každé její podmnožině ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {G}}\subset G}$. Lze ukázat i opačné tvrzení, tj. je-li zobecněná funkce lokálně rovna nule na otevřené množině, tak je na této množině rovna nule ve smyslu definic výše. Nyní už můžeme přikročit k definici nosiče zobecněné funkce.

Uvažujme všechny ${\displaystyle \scriptstyle G}$ coby otevřené podmnožiny ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$, na kterých je zobecněná funkce ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'}$ rovna nule. Označme si sjednocení všech takových množin jako ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(f)}$. Tato množina je zřejmě největší otevřená množina, na níž je ${\displaystyle \scriptstyle f}$ rovna nule. Její doplněk, tj. množinu ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {N}}(f)}$ pak nazýváme nosič zobecněné funkce ${\displaystyle \scriptstyle f}$ a značíme ${\displaystyle \scriptstyle {\text{supp}}f}$.

Pokud má zobecněná funkce ${\displaystyle \scriptstyle f}$ omezený nosič, tak řekneme, že je ${\displaystyle \scriptstyle f}$ finitní.

Mějme ${\displaystyle \scriptstyle G}$ otevřenou množinu v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ vybavenou Lebesgueovou mírou. O měřitelné funkci ${\displaystyle \scriptstyle F}$ definované na ${\displaystyle \scriptstyle G}$ řekneme, že je lokálně integrovatelná, právě když je splněno

${\displaystyle (\forall x\in G)(\exists U=U^{\circ }\subset G,x\in U)\left(\int _{U}|F(x)|\mathrm {d} ^{n}x<\,+\infty \right).}$

Podobně jako u p-integrabilních funkcí i zde uvažujme množinu všech lokálně integrovatelných funkcí na ${\displaystyle \scriptstyle G}$, kterou vyfaktorizujeme podle množiny lokálně integrovatelných funkcí nenulových na množině míry nula. Jinými slovy, uvažujme množinu integrabilních funkcí faktorizovanou podle množiny těch lokálně integrovatelných funkcí ${\displaystyle \scriptstyle F}$, pro něž ${\displaystyle \scriptstyle \int _{U}|F(x)|\mathrm {d} ^{n}x=0}$. Vzniklý faktorprostor označíme ${\displaystyle \scriptstyle L_{\text{loc}}^{1}(G,\mathrm {d} ^{n}x)}$, popř. jen ${\displaystyle \scriptstyle L_{\text{loc}}^{1}(G)}$, a nazveme prostor lokálně integrovatelných funkcí. Správně tedy prvky tohoto prostoru nejsou funkce samotné, ale jejich třídy ekvivalence. Jak je ale obvyklé, budeme dále považovat za prvky prostoru lokálně integrovatelných funkcí funkce samotné, ne jejich třídy ekvivalence.

Je též dobré si uvědomit, že funkce ${\displaystyle \scriptstyle F}$ je lokálně integrovatelná na ${\displaystyle \scriptstyle G}$, právě když pro každou kompaktní podmnožinu ${\displaystyle \scriptstyle K\subset G}$ je zúžení ${\displaystyle \scriptstyle F|_{K}}$ z prostoru ${\displaystyle \scriptstyle L^{1}(K,\mathrm {d} ^{n}x)}$.

Buď nyní ${\displaystyle \scriptstyle F\in L_{\text{loc}}^{1}(G)}$ a definujme funkcionál ${\displaystyle \scriptstyle f}$ na ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$ jako

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))\left((f,\varphi )\equiv \int _{G}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x\right).}$

Integrál výše je konečný, protože ve skutečnosti neintegruji přes celou množinu ${\displaystyle \scriptstyle G}$, ale pro každou konkrétní testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ integruji vždy jen přes její nosič ${\displaystyle \scriptstyle {\text{supp}}\ \varphi \subset G}$, což je kompaktní množina (viz poznámku před vzorcem výše). Díky linearitě integrálu je funkcionál ${\displaystyle \scriptstyle f}$ též lineární. Navíc je i spojitý (ve smyslu konvergence zavedené výše). Mějme posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konvergující v ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$ k funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$. Všechny nosiče ${\displaystyle \scriptstyle {\text{supp}}\ \varphi _{k}}$ jsou tedy podmnožinou nějaké kompaktní množiny ${\displaystyle \scriptstyle K\subset G}$ a pro limitu hodnot integrálu platí

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{G}F(x)\varphi _{k}(x)\mathrm {d} ^{n}x=\lim _{k\to \infty }\int _{K}F(x)\varphi _{k}(x)\mathrm {d} ^{n}x.}$

Nyní využijeme toho, že posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konverguje na ${\displaystyle \scriptstyle K}$ stejnoměrně (viz definici konvergence na prostoru testovacích funkcí), abychom mohli zaměnit limitu s integrálem. Dostáváme tedy

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{K}F(x)\varphi _{k}(x)\mathrm {d} ^{n}x=\int _{K}F(x)(\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}(x))\mathrm {d} ^{n}x=\int _{K}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x=\int _{G}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x.}$

O funkcionálu ${\displaystyle \scriptstyle f}$ jsme tedy právě ukázali, že je dobře definovaný (integrál je pro každou testovací funkci konečný), lineární a spojitý. Jedná se tedy o zobecněnou funkci.

Dále definujeme, že obecná zobecněná funkce ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)}$ je regulární zobecněná funkce, právě když existuje lokálně integrovatelná funkce ${\displaystyle \scriptstyle F\in L_{\text{loc}}^{1}(G)}$ taková, že

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G))\left((f,\varphi )\equiv \int _{G}F(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x\right).}$

Afinní transformace na vektorovém prostoru je obecně transformace tvaru ${\displaystyle \scriptstyle Ax+b}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle A}$ je lineární zobrazení a ${\displaystyle \scriptstyle b}$ je vektor posunutí. Zaveďme nyní afinní transformaci pro zobecněné funkce.

Aby byl pochopitelný způsob, jakým je afinní transformace pro zobecněné funkce zavedena, uveďme si příklad, na kterém demonstrujeme vlastnosti, které od transformace budeme požadovat. Mějme regulární matici ${\displaystyle \scriptstyle A\in {\text{GL}}(\mathbb {R} ,n)}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} }$, vektor (resp. uspořádanou ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tici) ${\displaystyle \scriptstyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$, lokálně integrabilní funkci ${\displaystyle \scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ a funkci ${\displaystyle \scriptstyle g}$ definovanou předpisem

${\displaystyle g(x)=f(Ax+b).}$

Uvažujme dále libovolnou testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}}$. Klasickými úpravami a větou o substituci v integrálu dostáváme

${\displaystyle (g,\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(Ax+b)\varphi (x)\mathrm {d} ^{n}x={\frac {1}{|\det A|}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (A^{-1}(y-b))\mathrm {d} ^{n}y={\frac {1}{|\det A|}}(f(y),\varphi (A^{-1}(y-b))).}$

Díky tomuto vztahu je zřejmá podoba následující definice.

Mějme zobecněnou funkci ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$. Afinní transformaci pro tuto funkci s maticí ${\displaystyle \scriptstyle A\in {\text{GL}}(\mathbb {R} ,n)}$ a vektorem posunutí ${\displaystyle \scriptstyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ definujeme vztahem

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}})\left((f(Ax+b),\varphi (x))\equiv {\frac {1}{|\det A|}}(f(y),\varphi (A^{-1}(y-b)))\right).}$

Zde je třeba chápat výraz ${\displaystyle \scriptstyle f(Ax+b)}$ jako nedělitelný. Jak bylo uvedeno výše a jak vyplývá z definice zobecněné funkce, nelze hovořit o hodnotě funkce v nějakém bodě z ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Symbol ${\displaystyle \scriptstyle f(Ax+b)}$ představuje novou zobecněnou funkci. Výraz v závorce "pouze" označuje, jaké souřadnice na ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ jsme si zvolili a se kterými zrovna pracujeme.

Ověřme, že výše uvedená definice je konzistentní s dosavadními definicemi. Zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle f(Ax+b)}$ je zřejmě funkcionál na testovacích funkcích, který je navíc lineární. Ověřme tedy jeho spojitost (ve smyslu konvergence). Mějme tedy libovolnou posloupnost testovacích funkcí ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}}$, která konverguje k jisté testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$. Zde je dobré si uvědomit, že testovací funkce tvoří lineární prostor a proto stačí uvažovat případ ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \equiv 0}$. Kdybychom totiž měli posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{{\tilde {\varphi }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}}$ konvergující k ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\varphi }}\neq 0}$, tak dostaneme

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{k}\to {\tilde {\varphi }}\quad \Leftrightarrow \quad {\tilde {\varphi }}_{k}-{\tilde {\varphi }}\to 0.}$

Položíme-li ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{k}\equiv {\tilde {\varphi }}_{k}-{\tilde {\varphi }}}$, platí

${\displaystyle \varphi _{k}\to 0\equiv \varphi .}$

Máme tedy bez újmy na obecnosti posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}}$ konvergující v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$ k nule. Ověřme nejdříve spojitost zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$, které každé testovací funkci přiřadí jinou testovací funkci předpisem

${\displaystyle (T\varphi )(x)\equiv \varphi (Ax+b).}$

Funkce ${\displaystyle \scriptstyle (T\varphi )}$ je skutečně testovací funkce. Je totiž hladká (jedná se o složení dvou hladkých zobrazení) a má kompaktní nosič (samotná transformace ${\displaystyle \scriptstyle Ax+b}$ je difeomorfizmus a tedy převádí kompaktní množinu opět na kompaktní množinu). Zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ je tedy dobře definované.

Jak je to s jeho spojitostí? Uvědomíme-li si, jakým způsobem se derivují složené funkce, je zjevné, že pro každý multiindex ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n}}$ je parciální derivace ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\alpha }(T\varphi )}$ nějakou lineární kombinací funkcí ${\displaystyle \scriptstyle (\partial ^{\beta }\varphi )(Ax+b)}$, kde multiindexy ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ splňují ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |=|\alpha |}$. Jestliže nyní máme posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}}$ konvergující v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$ k nule, má posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{T\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ stejnoměrné omezené nosiče a konverguje zjevně včetně všech svých derivací stejnoměrně k nulové funkci. Tím jsme dokázali, že zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$ je spojité.

Definujme si nyní pomocnou posloupnost testovacích funkci ${\displaystyle \scriptstyle \{\psi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle \psi _{k}\equiv \varphi _{k}(A^{-1}(x-b))}$. Tato posloupnosti konverguje v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}}$ k nule a navíc podle definice afinní transformace platí

${\displaystyle (f(Ax+b),\varphi _{k}(x))={\frac {1}{|\det A|}}(f(x),\psi _{k}(x)).}$

Pravá strana rovnice jde pro ${\displaystyle \scriptstyle k\to \infty }$ k nule, což plyne ze spojitosti zobecněné funkce ${\displaystyle \scriptstyle f}$. Takto jsme ověřili zatím jen spojitost funkcionálu ${\displaystyle \scriptstyle f(Ax+b)}$. Tj. ukázali jsme, že obraz zobecněné funkce při afinní transformaci je opět zobecněná funkce. Ukažme ještě, že samotná afinní transformace jako zobrazení na zobecněných funkcích je spojitá. Uvažujme tedy zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ takové, že ${\displaystyle \scriptstyle Tf(x)=f(Ax+b)}$. Toto zobrazení je lineární. Chceme o něm ukázat, že je spojité. Za tímto účelem si tedy vezměme posloupnost zobecněných funkcí ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konvergující v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'}$ k nulové zobecněné funkci. Pak

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}})(\lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )=0).}$

Tím pádem je tedy splněn i vztah dokazující spojitost ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {T}}}$, protože

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }({\tilde {T}}f_{k},\varphi )=\lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi (A^{-1}(x-b)))=0.}$

Definujme si nyní násobení zobecněné funkce "obyčejnou" hladkou funkcí. (Definovat násobení zobecněné funkce zobecněnou funkcí naráží na problémy a obecně takové násobení definovat nelze.)

Mějme otevřenou množinu ${\displaystyle \scriptstyle G=G^{\circ }\in \mathbb {R} ^{n}}$, hladkou funkci ${\displaystyle \scriptstyle h\in C^{\infty }(G)}$ a testovací funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)}$. Mějme dále funkci ${\displaystyle \scriptstyle F\in L_{\text{loc}}^{1}(G)}$. Je zřejmé, že i ${\displaystyle \scriptstyle hF\in L_{\text{loc}}^{1}(G)}$. Potom

${\displaystyle (hF,\varphi )=\int _{G}(hF)\varphi \,\mathrm {d} ^{n}x=\int _{G}F(h\varphi )\,\mathrm {d} ^{n}x=(F,h\varphi ).}$

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle G=G^{\circ }\in \mathbb {R} ^{n}}$. Mějme dále ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)}$ a ${\displaystyle \scriptstyle h\in C^{\infty }(G)}$. Pak

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G)){\big (}(hf,\varphi )=(f,h\varphi ){\big )}.}$

Pravá strana rovnice výše je dobře definovaná, neboť ${\displaystyle \scriptstyle h\varphi \in {\mathcal {D}}(G)}$. Násobek zobecněné funkce je tak dobře definovaný funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Je zřejmě i lineární. Ověřme, že je spojitý, tj. že násobek zobecněné funkce hladkou funkcí je opět zobecněná funkce. Mějme nejprve ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ posloupnost testovacích funkcí takovou, že ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{k\to \infty }\varphi _{k}=0}$ v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$. Pak v tomto prostoru k nulové funkci konverguje zřejmě i posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{h\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$. Vynásobením funkcí ${\displaystyle \scriptstyle h}$ jsme totiž nosiče jednotlivých funkcí ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{k}}$ nezvětšili, a jsou tedy stále stejnoměrně omezené. Navíc jdou všechny derivace ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\alpha }(h\varphi _{k})}$ stejnoměrně k nule, protože z Leibnizova pravidla plyne, že lze funkci ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\alpha }(h\varphi _{k})}$ vyjádřit pomocí derivací ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\mu }h}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\nu }\varphi _{k}}$ pro jisté multiindexy ${\displaystyle \scriptstyle \mu ,\nu \in \mathbb {Z} _{+}^{n}}$. Ty první jsou hladké funkce, ty druhé pak z předpokladu konvergence posloupnosti ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$ konvergují stejnoměrně k nule. Máme tedy

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }(hf,\varphi _{k})=\lim _{k\to \infty }(f,h\varphi _{k})=(f,\lim _{k\to \infty }(h\varphi _{k}))=0,}$

což dokazuje spojitost funkcionálu ${\displaystyle \scriptstyle hf}$ (ve druhé rovnosti jsme využili spojitosti funkcionálu ${\displaystyle \scriptstyle f}$).

Ověřili jsme tak, že násobek zobecněné funkce hladkou funkcí je opět zobecněná funkce. Ukažme nyní, že samotné násobení, coby zobrazení na prostoru zobecněných funkcí, je spojité (to, že je lineární, je zřejmé). Označme si toto zobrazení jako ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Buď ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ posloupnost zobecněných funkcí jdoucí k nule, tj. ${\displaystyle \scriptstyle (\varphi \in {\mathcal {D}}(G))(\lim _{k\to \infty }(f_{k},\varphi )=0)}$. Pak ale ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{k\to \infty }(Tf_{k},\varphi )=\lim _{k\to \infty }(f_{k},h\varphi )=0}$, což dokazuje spojitost.

Na prostoru zobecněných funkcí lze i korektně zavést operaci derivování. Od této zobecněné derivace požadujeme, aby se pro "pěkné" funkce redukovala na běžnou derivaci. Přesněji, chceme, aby zobecněná derivace dávala na funkcích ze třídy ${\displaystyle \scriptstyle C^{1}}$ téže výsledky jako derivace obyčejná. (Platí inkluze ${\displaystyle \scriptstyle C^{1}\subset L_{\text{loc}}^{1}}$.)

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle G}$ je otevřená podmnožina v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \scriptstyle f\in C^{1}(G)}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(G)}$. Ukotvěme si navíc jistý index ${\displaystyle \scriptstyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$. Platí tedy, že ${\displaystyle \scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}}$ a navíc ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\in L_{\text{loc}}^{1}}$. Upravíme-li integrál v definici regulární zobecněné funkce metodou per partes, obdržíme

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x^{i}}},\varphi \right)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\varphi \,\mathrm {d} ^{n}x=0-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\,\mathrm {d} ^{n}x=-\left(f,{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right).}$

Tento vztah vezmeme za definici zobecněné derivace.

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ je otevřená, ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(G)}$ a ${\displaystyle \scriptstyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$. Pak

${\displaystyle (\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(G)){\bigg (}\left({\frac {\partial f}{\partial x^{i}}},\varphi \right)\equiv -\left(f,{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right){\bigg )}.}$

Přitom v případě ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}}$ jde o běžnou derivaci testovací funkce a výraz ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$ je definován právě vzorcem výše (${\displaystyle \scriptstyle f}$ je nyní již libovolná zobecněná funkce, ne obecně regulární). Derivaci zavedené tímto způsobem říkáme zobecněná derivace či derivace v zobecněném smyslu.

Za prvé, definice výše má dobrý smysl. To lze snadno nahlédnout z toho, že zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\alpha }:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$ pro každý multiindex ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n}}$ je spojité a lineární (platí ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }\varphi \subset \mathrm {supp} \,\varphi }$). Takže zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ je spojité a zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$ je spojitý funkcionál definovaný na ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(G)}$. Derivace ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ je spojitá i v zobecněném smyslu. Mějme ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}:{\mathcal {D}}'(G)\to {\mathcal {D}}'(G)}$ a posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ jdoucí k nule v ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'}$. Platí

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f_{k},\varphi \right)=-\lim _{k\to \infty }\left(f_{k},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right)=0.}$

Pro zderivované zobecněné funkce také platí

${\displaystyle (\forall \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n})(\forall f\in {\mathcal {D}}')(\mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }f\subset \mathrm {supp} \,f).}$

Abychom ukázali vztah výše, nechť ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}}$ je testovací funkce, jejíž nosič leží v doplňku nosiče zobecněné funkce ${\displaystyle \scriptstyle f}$. Neboli ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {supp} \,\varphi \subset {\mathcal {N}}(f)}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(f)=\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathrm {supp} \,f}$. Pak ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }\varphi \subset \mathrm {supp} \,\varphi \subset {\mathcal {N}}(f)}$ a

${\displaystyle (\partial ^{\alpha }f,\varphi )=(-1)^{|\alpha |}(f,\partial ^{\alpha }\varphi )=0.}$

To znamená, že ${\displaystyle \scriptstyle \partial ^{\alpha }f=0}$ na ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(f)}$. Neboli ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(f)\subset {\mathcal {N}}(\partial ^{\alpha }f)}$ a tedy ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {supp} \,\partial ^{\alpha }f\subset \mathrm {supp} \,f}$.

Ačkoli nelze obecně zavést násobení dvou zobecněných funkcí, můžeme uvažovat násobek zobecněné funkce hladkou funkcí a její derivaci. Pro takovouto derivaci platí, stejně jako pro klasické funkce, Leibnizovo pravidlo, tj.

${\displaystyle (\forall h\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}))(\forall f\in {\mathcal {D}}')(\forall \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{n})\left(\partial ^{\alpha }(hf)=\sum _{\beta ,0\leq \beta \leq \alpha }{\frac {\alpha$ !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}(\partial ^{\beta }h)(\partial ^{\alpha -\beta }f)\right).}

Výraz výše lze dokázat matematickou indukcí, ukažme nyní její první část pro ${\displaystyle \scriptstyle |\alpha |=1}$. Buď ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}}$, pak

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(hf),\varphi \right)=-\left(hf,{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right)=-\left(f,h{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\right)=-\left(f,{\frac {\partial (h\varphi )}{\partial x^{i}}}\right)+\left(f,{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\varphi \right)=\left({\frac {\partial f}{\partial x^{i}}},h\varphi \right)+\left({\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}f,\varphi \right)=\left(h{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}f,\varphi \right).}$

Neboli

${\displaystyle {\frac {\partial (hf)}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}f+h{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.}$

Stejně jako u klasických funkcí můžeme i v případě zobecněných funkcí definovat jejich tenzorový součin. Toto zobrazení je přímým zobecněním tenzorového součinu klasických funkcí.

V případě klasických funkcí je tenzorový součin definován následovně. Buď ${\displaystyle \scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{m})}$, ${\displaystyle \scriptstyle g\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, pak jejich tenzorový součin je definován jako funkce ${\displaystyle \scriptstyle f\otimes g\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{m+n})}$ působící způsobem

${\displaystyle (f\otimes g)(x,y)\equiv f(x)\,g(y).}$

Takto definované zobrazení vytvářející ze dvou funkcí jejich tenzorový součin je mimo jiné aditivní v obou svých proměnných. Na tenzorový součin dvou jistých funkcí ${\displaystyle \scriptstyle f\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{m})}$ a ${\displaystyle \scriptstyle g\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ můžeme nahlížet jako na regulární zobecněnou funkci na prostoru ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{m+n}}$. Vezměme tedy funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})}$, pak

${\displaystyle (f\,\otimes \,g,\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{m+n}}f(x)g(y)\varphi (x,y)\,\mathrm {d} ^{m}x\,\mathrm {d} ^{n}y=\int _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)\varphi (x,y)\,\mathrm {d} ^{n}y\right)\,\mathrm {d} ^{m}x=(f(x),(g(y),\varphi )),}$

kde jsme využili Fubiniovy věty.

Rozšíříme-li platnost vztahu výše pro všechny zobecněné funkce ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})}$ a ${\displaystyle \scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, dostáváme následující definici, jejíž korektnost však musí být ještě dokázána.

Nechť ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})}$ a ${\displaystyle \scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$. Pak symbolem ${\displaystyle \scriptstyle f\otimes g}$ rozumíme zobecněnou funkci z prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m+n})}$ působící na libovolnou ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})}$ následujícím způsobem

${\displaystyle {\big (}f(x)\otimes g(y),\varphi (x,y){\big )}=\left(f(x),(g(y),\varphi (x,y))\right).}$

Tuto zobecněnou funkci nazýváme tenzorový součin zobecněných funkcí ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {f}}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {g}}}$.

Lze dokázat, že je-li ${\displaystyle \scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m+n})}$, pak je funkce ${\displaystyle \scriptstyle \psi (x)\equiv (g(y),\varphi (x,y))}$ prvkem prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{m})}$. Pravá strana definiční rovnosti výše má tedy dobrý smysl. Dá se též dokázat, že tenzorový součin definovaný vztahem výše je spojitý funkcionál.

Uveďme některé důležité vlastnosti tenzorového součinu ve smyslu zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle \otimes$ :{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m+n})} . Pokud nebude uvedeno jinak, tak budeme uvažovat ${\displaystyle \scriptstyle f\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{m})}$, ${\displaystyle \scriptstyle g\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, ${\displaystyle \scriptstyle h\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{p})}$ a funkci ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ vždy libovolnou testovací funkci z odpovídajícího prostoru testovacích funkcí.

• bilinearita

${\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda f_{1}+f_{2})\otimes g\ &=&\lambda f_{1}\otimes g+f_{2}\otimes g\\f\otimes (\lambda g_{1}+g_{2})\ &=&\lambda f\otimes g_{1}+f\otimes g_{2}\end{aligned}}}$

• asociativita

${\displaystyle (f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h)}$

• komutativita

${\displaystyle f\otimes g=g\otimes f,\quad {\text{neboli}}\quad {\big (}f(x),(g(y),\varphi (x,y)){\big )}={\big (}g(y),(f(x),\varphi (x,y)){\big )}}$

• spojitost v obou argumentech - Mějme posloupnost zobecněných funkcí ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konvergujících k ${\displaystyle \scriptstyle f}$ v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'}$. Pak posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{f_{k}\otimes g\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konverguje k ${\displaystyle \scriptstyle f\otimes g}$. Podobně, pokud posloupnost ${\displaystyle \scriptstyle \{g_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konverguje k ${\displaystyle \scriptstyle g}$ v ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {D}}'}$, tak ${\displaystyle \scriptstyle \{f\otimes g_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ konverguje k ${\displaystyle \scriptstyle f\otimes g}$.

• derivace - Pro libovolný multiindex ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \mathbb {Z} _{+}^{m}}$ platí (pro derivace podle proměnné ${\displaystyle \scriptstyle y}$ obdobně)

${\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }{\big (}f(x)\otimes g(y){\big )}=\partial _{x}^{\alpha }f(x)\otimes g(y).}$

• násobení hladkou funkcí - Buď ${\displaystyle \scriptstyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})}$. Pak

${\displaystyle a(x){\big (}f(x)\otimes g(y){\big )}={\big (}a(x)f(x){\big )}\otimes g(y).}$