Komplexně sdružené číslo

V matematice se pojmem sdružené číslo komplexního čísla $z=a+bi=re^{i\phi }$ (kde $a$ , $b$ a $\phi$ jsou reálná čísla, $r$ nezáporné) nazývá číslo ${\overline {z}}=a-bi=re^{-i\phi }$ . Vznikne tedy změnou znaménka imaginární části. Většinou se označuje tak jako v předchozím příkladě, tedy přidáním pruhu nad původní číslo a často také pomocí hvězdičky, například:
${\overline {3-2i}}=(3-2i)^{*}=3+2i$
${\overline {i}}=i^{*}=-i$
${\overline {7}}=7^{*}=7$

grafické znázornění kompl. sdružených čísel

Geometricky je sdružené číslo obrazem daného komplexního v osové souměrnosti podle reálné osy v Gaussově rovině.

Vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, není-li uvedeno jinak.

{\overline {z}}={\overline {w}}

, právě tehdy když

z=w

{\overline {({\overline {z}})}}=z

{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}

{\overline {zw}}={\overline {z}}\ {\overline {w}}

{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}

pro w nenulové

{\overline {z}}=z

právě když je z reálné číslo

\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|

{\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}

z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}

pro z nenulové

První čtyři vlastnosti znamenají, že unární operace sdružení je involutorní automorfismus tělesa komplexních čísel.

Komplexní sdružení matice

Komplexním sdružením matice je formálně značeno takto

{\overline {\;\cdot \;}}:M_{n\times m}(\mathbb {C} )\to M_{n\times m}(\mathbb {C} )

takže dle dané matice $A$

A=(a_{ij})\mapsto {\overline {A}}=({\overline {a_{ij}}})

.

Příklad

A={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {A}}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}

Související články

Portály: Matematika

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.