Gravitační potenciál

Gravitační potenciál.

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

${\displaystyle \phi (r)=-{\frac {GM}{r}},}$

• ${\displaystyle G}$ je gravitační konstanta (někdy označována také ${\displaystyle \kappa }$)
• ${\displaystyle M}$ je hmotnost hmotného bodu
• ${\displaystyle r}$ je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

${\displaystyle v_{k}={\sqrt {\frac {GM}{r}}},}$

Úniková rychlost je

${\displaystyle v_{esc}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2}}\ v_{k}.}$

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

${\displaystyle \phi _{P}(r)=-{\frac {GM}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}},}$

kde ${\displaystyle b}$ je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty ${\displaystyle \rho }$ na poloměru ${\displaystyle r}$.

${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M}{4\pi b^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{b^{2}}}\right)^{-5/2}}$

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

${\displaystyle \phi _{K}(R,z)=-{\frac {GM}{\sqrt {R^{2}+\left(a+|z|\right)^{2}}}},}$

• ${\displaystyle R}$ je vzdálenost v rovině xy
• ${\displaystyle a}$ je parametr
• ${\displaystyle |z|}$ je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

${\displaystyle \Sigma _{K}(R)={\frac {aM}{2\pi \left(R^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}.}$

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

${\displaystyle \phi _{MN}(R,z)=-{\frac {GM}{\sqrt {R^{2}+\left(a+{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}}.}$

Pokud

• ${\displaystyle a=0}$ a ${\displaystyle b=0}$ ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}$
• ${\displaystyle a=0}$ a ${\displaystyle b\neq 0}$ ... přechází v Plummerův potenciál
• ${\displaystyle a\neq 0}$ a ${\displaystyle b=0}$ ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť ${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{2}}}}$.

Tedy pokud je ${\displaystyle b\ll a}$, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je ${\displaystyle b\gg a}$, dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

${\displaystyle \rho _{MN}(R,z)=\left({\frac {b^{2}M}{4\pi }}\right){\frac {aR^{2}+\left(a+3{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)\left(a+{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}{\left[R^{2}+\left(a+{\sqrt {z^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\right]^{5/2}\left(z^{2}+b^{2}\right)^{3/2}}}}$

• Geoid

• Obrázky, zvuky či videa k tématu gravitační potenciál na Wikimedia Commons