Definiční obor

• Funkce ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=1/x}$ na množině reálných čísel ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ není definována pro ${\displaystyle \scriptstyle x=0}$. Její definiční obor je tedy množina ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$.
• Mezi další oblíbené příklady patří funkce složené z funkce tangens, která je definována pro všechna reálná čísla kromě lichých násobků čísla ${\displaystyle \scriptstyle \pi /2}$.
• Definiční obor ale nemusí tvořit jen čísla. Uvažujme například operátor derivace, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci. Neboli

${\displaystyle {\text{Der}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},}$

kde jsme jako ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$ označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí ${\displaystyle \scriptstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. V tomto případě tedy tvoří definiční obor operátoru derivace ${\displaystyle \scriptstyle {\text{Der}}}$ ty funkce z ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.

Mějme zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T:X\to Y}$. V závislosti na tom, zda je zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ definováno pro všechny prvky ${\displaystyle \scriptstyle X}$ nebo ne, rozlišujeme následující pojmy:

• Pokud je zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ definováno pro všechny prvky, tak říkáme, že zobrazuje množinu ${\displaystyle \scriptstyle X}$ do množiny ${\displaystyle \scriptstyle Y}$.
• Pokud naopak existuje prvek ${\displaystyle \scriptstyle x}$ z množiny ${\displaystyle \scriptstyle X}$, pro něž není zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ definováno, pak říkáme, že zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ zobrazuje z množiny ${\displaystyle \scriptstyle X}$ do množiny ${\displaystyle \scriptstyle Y}$. Občas se pro tento případ užívá značení, kdy je vstupní množina, tj. ${\displaystyle \scriptstyle X}$, uvedena v závorce. Neboli

${\displaystyle T:(X)\to Y.}$

Obvykle se ale za množinu ${\displaystyle \scriptstyle X}$ bere právě definiční obor zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ a výše uvedenou konvenci se závorkou není třeba užívat.

Uvažujme nyní topologický prostor ${\displaystyle \scriptstyle X}$ a na něm definované zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$, které zobrazuje do nějaké množiny ${\displaystyle \scriptstyle Y}$. O zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle T}$ řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru ${\displaystyle \scriptstyle X}$. Neboli

${\displaystyle {\overline {(D_{T})}}=X,}$

kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci ${\displaystyle \scriptstyle f:X\to Y}$ a platí-li ${\displaystyle \scriptstyle A\subseteq X}$, můžeme omezit funkci ${\displaystyle \scriptstyle f}$ na množinu ${\displaystyle \scriptstyle A}$ , což značíme

${\displaystyle f|_{A}:A\rightarrow Y.}$

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny ${\displaystyle \scriptstyle A}$ stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny ${\displaystyle \scriptstyle X}$. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny ${\displaystyle \scriptstyle A}$. Pro funkci ${\displaystyle \scriptstyle f}$ se ${\displaystyle \scriptstyle f_{A}}$ nazývá zúžení ${\displaystyle \scriptstyle f}$ na množinu ${\displaystyle \scriptstyle A}$. Místo slova zúžení lze použít i cizí slovo restrikce.