Komutátor (algebra)

Komutátor je operátor vyjadřující „míru nekomutativity“ dvou operátorů. Máme-li operátory ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$, rozumí se obvykle jejich komutátorem operátor ${\displaystyle AB-BA}$, označovaný zkráceně ${\displaystyle [A,B]}$. Komutátor je standardně užívanou mírou nekomutativity, komutují-li totiž ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$, pak je ${\displaystyle [A,B]=0}$.

Fyzikálně je motivováno zavedení antikomutátoru, který je dán jako ${\displaystyle AB+BA}$ a označován ${\displaystyle \{A,B\}}$ nebo ${\displaystyle [A,B]_{+}}$.

V teorii Lieových algeber je komutátor (také Lieova závorka) jakékoliv bilineární zobrazení kartézského součinu algebry se sebou do téže algebry mající následující vlastnosti:

• antisymetrie: ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
• Jacobiho identita ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

Jsou-li prvky algebry reprezentovány operátory, pak tvar ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ splňuje tyto požadavky.