Kovariance

Kovariance dvou veličin je definována jako

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}},}$

kde ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ značí kovarianci veličin ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ a kde ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ značí střední hodnotu.

Výpočet kovariance provádíme pomocí odhadu střední hodnoty (${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\overline {x}}}$, resp. ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]={\overline {y}}}$):

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-{\overline {x}})(Y-{\overline {y}}){\big ]}}}$

Hodnota kovariance může být

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)>0}$, pokud jedna veličina roste, případně klesá, spolu s druhou, což naznačuje lineární závislost ve smyslu přímé úměry.
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)<0}$, pokud jedna veličina klesá, zatímco druhá roste, což naznačuje lineární závislost ve smyslu nepřímé úměry.
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)\doteq 0}$, pokud se veličiny neovlivňují, což naznačuje lineární nezávislost. Neznamená to ale nezávislost ve smyslu stochastickém či kauzálním.

Pro variance dvou veličin lze pak psát

${\displaystyle \operatorname {Var} (X\pm Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)}$