Smíšený součin

Smíšený součin tří vektorů (v daném pořadí) trojrozměrného vektorového prostoru lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.

$[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}}).$

V souřadnicích platí:

$[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}=det({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}).$

Vlastnosti

Geometrický význam smíšeného součinu vektorů je (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu jimi přirozeně určeného.

Z významu plyne, že smíšený součin tří vektorů je roven nule, právě když jsou lineárně závislé (leží v jedné rovině).

Při záměně libovolných dvou vektorů změní smíšený součin znaménko. Na pořadí vektorů tedy záleží, ale změní se nejvýše znaménko výsledku.

Je to funkce lineární ve všech proměnných (multilineární funkce). Smíšený součinu vektorů kladně orientované báze je 1. Smíšený součin tří vektorů je tedy jednotková antisymetrická trilineární forma. Lze ho vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu ε (s Einsteinovou sumační konvencí):

$[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$

Zobecnění

Vnější součin n vektorů n-rozměrného vektorového prostoru se skalárním součinem lze zavést jako jednotkovou antisymetrickou n-lineární formu (nabývá hodnoty 1 pro vektory kladně orientované ortonormální báze),

$[{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v_{n}}}]=det({\vec {v_{1}}}\ {\vec {v_{2}}}\ ...\ {\vec {v_{n}}}).$

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.