Levi-Civitův symbol
V matematice, a zvlášť v tenzorovém počtu, se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi), také nazývaný permutační symbol nebo antisymetrický symbol, definuje následovně:
tj. hodnota je 1 jestliže (i, j, k) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.
Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi. Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky.
Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako
(a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)
a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:
nebo jednodušeji:
Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence.
Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:
Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.
Tenzor, jehož komponenty jsou dány Levi-Civitovým symbolem (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor. Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor, protože dává záporné znaménko při nepřímé ortogonální transformaci (s jakobiánem −1, tj. rotace složené se zrcadlením). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor a ne vektor.
Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:
Navíc zřejmě platí, že
- .
vždy platí v n dimenzích (sčítáme přes všechny permutace třídy n).
Příklady
1. Determinant matice lze napsat jako
kde každé se sečte přes
Ekvivalentně můžeme napsat
kde nyní každé a každé se sečte přes .
2. Jestliže a jsou vektory v , pak tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna
například první komponenta je . Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že . Dále jestliže je vektor, podobně jako a , pak trojčlenný skalární součin
Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například .
3. Předpokládejme, že je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině s katézskými souřadnicemi . Pak tá komponenta rotace se rovná