Varieta (matematika)

Jeden z možných způsobů zavedení variet je skrz tzv. mapy a atlasy. Atlasem nazveme množinu funkcí (map) ${\displaystyle \scriptstyle f_{i}:V_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$, takových, že:

1. ${\displaystyle V_{i}}$ jsou otevřené množiny z Hausdorffova separabilního prostoru M, které pokrývají celé ${\displaystyle M}$.
2. ${\displaystyle \scriptstyle \,f_{i}}$ jsou homeomorfizmy ${\displaystyle V_{i}}$ na otevřenou množinu v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$.
3. ${\displaystyle \scriptstyle f_{i}\circ f_{j}^{-1}}$ (tzv. přechodové funkce) mají na ${\displaystyle \scriptstyle f_{j}(V_{i}\cap V_{j})}$ spojité parciální derivace do řádu ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle C^{k}}$-varieta je pak definována jako topologický prostor M spolu s daným atlasem. Tato struktura umožňuje derivovat funkce ve směru křivek (mapy problém přenesou do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) a definovat tečný prostor v každém bodě variety. Pokud ${\displaystyle k=\infty }$, mluvíme o hladké varietě. Dá se dokázat, že každá ${\displaystyle C^{k}}$varieta pro ${\displaystyle k\geq 1}$ už je hladká. Hladká varieta se někdy také nazývá diferencovatelná varieta. Pokud místo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$máme mapy do ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$a přechodové funkce jsou holomorfní, mluvíme o komplexní varietě. Pokud přechodové funkce jsou analytické funkce, mluvíme o analytické varietě. Pokud přechodové funkce jsou pouze spojité, mluvíme o topologické varietě (na ní tečné vektory nejsou definovány).

Uvažujme sféru ${\displaystyle \scriptstyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1},\,|x|=1\}}$. Sféru rozdělme na dvě podmnožiny, ${\displaystyle \scriptstyle U:=S^{n}-\{(0,\ldots ,0,1)\}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle V:=S^{n}-\{(0,\ldots ,0,-1)\}}$ (jedná se o sféru bez jižního resp. severního pólu). Definujme atlas pozůstávající z dvou map (tzv. stereografická projekce):

${\displaystyle f_{1}:U\to \mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto (x_{1}/(1-x_{n+1}),\ldots ,x_{n}/(1-x_{n+1}))}$

${\displaystyle f_{2}:V\to \mathbb {R} ^{n},\quad x\mapsto (x_{1}/(1+x_{n+1}),\ldots ,x_{n}/(1+x_{n+1}))}$

Přechodová funkce je pak kulová inverze ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}f_{2}^{-1}:\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to \mathbb {R} ^{n}-\{0\},\quad x\mapsto x/|x|^{2}}$. Jedná se o hladkou funkci, proto sféra s tímto atlasem tvoří hladkou varietu.

Ve speciálním případě dvourozměrné sféry (povrch třírozměrné koule) můžeme navíc ztotožnit ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}\simeq \mathbb {C} }$. Pokud změníme u mapy ${\displaystyle f_{1}}$ znaménko, bude přechodová funkce ${\displaystyle \scriptstyle x\mapsto -x/|x|^{2}}$ po ztotožnění s komplexními čísly jenom komplexní funkce ${\displaystyle \scriptstyle f(z)=1/z}$, což je holomorfní funkce z ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} -\{0\}\to \mathbb {C} -\{0\}}$ – sféra ${\displaystyle S^{2}}$ je tedy komplexní varieta (změnou znaménka jsme docílili toho, aby přechodová funkce byla holomorfní. Kruhová inverze je totiž antiholomorfní).

Poznamenejme, že jediné sféry, které jsou komplexní variety, jsou ${\displaystyle S^{2}}$ a možná ${\displaystyle S^{6}}$. U ${\displaystyle S^{6}}$ jde o otevřený problém, u jiných sfér je dokázáno, že komplexní strukturu nepřipouští.

• Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
• Kovalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995
• Thierry Aubin, A course in differential geometry, AMS 2001

• Obrázky, zvuky či videa k tématu varieta na Wikimedia Commons