Konvexní množina

V matematice se pod pojmem konvexní množina obvykle rozumí podmnožina Euklidovského prostoru nebo reálného afinního prostoru, která má následující vlastnost:

Konvexní množina M
Nekonvexní množina N
Mnohostěn: a) konvexní, b) nekonvexní

Jde tedy o množinu M takovou, že pro všechny body platí

Analyticky to lze obecně vyjádřit tak, že pro všechna je splněna podmínka

Představíme-li si hranici množiny jako neprůhlednou, znamená konvexita množiny názorně to, že z každého jejího bodu je vidět každý její bod.

Příklady

Vlastnosti

  • Průnik libovolného souboru konvexních množin je konvexní. To umožňuje pro libovolnou množinu definovat její konvexní obal jako průnik všech jejích konvexních nadmnožin. Je to její nejmenší konvexní nadmnožina (ve smyslu inkluze).
  • Každá konvexní množina je i hvězdovitě konvexní množina.
  • Konvexní množina je (obloukovitě) souvislá.
  • Sjednocení konvexních množin obecně není konvexní, např. sjednocení dvou různých jednobodových množin není konvexní.
  • Mějme konvexní množinu ve vektorovém prostoru a z ní libovolně vyberme nějaké vektory. Pak tato množina obsahuje všechny možné konvexní kombinace těchto vektorů. Neboli, konvexní množina je uzavřená na konvexní kombinace svých prvků.

Související články

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.