Osová souměrnost

Osová souměrnost.

Osová souměrnost v rovině nebo prostoru s přímkou o jako osou (souměrnosti) je takové zobrazení, které zobrazuje prvky osy o na sebe samé a bod ${\displaystyle A}$ ležící mimo osu o s průmětem ${\displaystyle S}$ do osy o na bod ${\displaystyle A^{\prime }}$, který se nachází na polopřímce opačné k ${\displaystyle SA}$ ve stejné vzdálenosti od ${\displaystyle S}$ jako bod ${\displaystyle A}$ (tj. platí pro něj ${\displaystyle |SA|=|SA^{\prime }|}$).

Útvar (ať již na přímce, v rovině nebo v prostoru) označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru.

Osové souměrnosti v rovině jsou důležité, protože každá shodnost v rovině se dá složit z nejvýše tří osových souměrností.

Osovou souměrnost lze definovat i v euklidovském prostoru vyšších dimenzí, nazývá se pak obecně souměrnost podle přímky.

Příklady os souměrnosti objektu

• Úsečka má v rovině dvě osy souměrnosti - kolmici v jejím středu a přímku, na které úsečka leží. Přímka je osově souměrná, osou je libovolná různoběžná kolmice nebo přímka sama.
• Rovnoramenný trojúhelník, který není rovnostranný, má jedinou osu souměrnosti, osu jeho základny.
• Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
• Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet různých os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníka - například rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti, čtverec čtyři, pravidelný šestiúhelník šest.
• Kruh (i kružnice) jsou příkladem útvarů s nekonečně mnoha osami souměrnosti - každá přímka (v jejich rovině) procházející středem je osou souměrnosti.
• Hyperbola, elipsa i parabola jsou dalšími příklady osově souměrných rovinných útvarů.

• Krychle, koule, kužel nebo válec jsou příkladem osově souměrného prostorového útvaru.
• Jehlan je osově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je středově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základny procházející středem souměrnosti základny.

Osová souměrnost je sama sobě inverzním zobrazením - složením dvou osových souměrností se stejnou osou vzniká identita. Osová souměrnost je tedy (jako každá souměrnost) involucí.

Osová souměrnost v rovině mění orientaci útvarů - pokud bylo pořadí vrcholů v trojúhelníku ve směru pohybu hodinových ručiček, pak pořadí jejich obrazů v osové souměrnosti je proti směru hodinových ručiček a naopak.

Osová souměrnost v (trojrozměrném) prostoru je zároveň otočením o 180 stupňů okolo stejné osy, takže je to přímá shodnost (přemístění) a orientaci zachovává.

Body ležící na ose souměrnosti jsou právě všechny její samodružné body. Všechny přímky kolmé k ose souměrnosti jsou samodružné.

Osová souměrnost v rovině má jen dva samodružné směry - směr její osy a směr k ní kolmý. V prostoru je rovněž samodružný směr osy a každý k ní kolmý.

• Středová souměrnost
• Rovinová souměrnost
• Shodné zobrazení

• POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
• BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.