Parabola (matematika)

Implicitní vyjádření

${\displaystyle \|XF\|=\|Xd\|\,\!}$

Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Standardní popis paraboly:

Parabola v kartezském souřadnicovém systému

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ a vrchol ${\displaystyle V=[x_{0},y_{0}]}$) v kartézských souřadnicích je

${\displaystyle {(y-y_{0})}^{2}=2p(x-x_{0})}$

Pro ${\displaystyle p>0}$ je parabola otevřená doprava a pro ${\displaystyle p<0}$ je parabola otevřená doleva. Pro ${\displaystyle x_{0}=0,y_{0}=0}$ dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

${\displaystyle \left[x_{0}+{\frac {p}{2}},y_{0}\right]}$

a řídicí přímka je určena rovnicí

${\displaystyle x=x_{0}-{\frac {p}{2}}}$

Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose ${\displaystyle y}$ a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

${\displaystyle x^{2}=2py}$

Pro ${\displaystyle p>0}$ je parabola otevřená nahoru a pro ${\displaystyle p<0}$ je otevřená dolů.

Jestliže v rovnici kuželosečky položíme ${\displaystyle a_{11}=a_{12}=0}$ a ${\displaystyle a_{13}a_{22}\neq 0}$, pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$), která má řídicí přímku

${\displaystyle x={\frac {a_{23}^{2}+a_{13}^{2}-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}}}$

ohnisko má souřadnice

${\displaystyle F=\left[{\frac {a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}}},\;-{\frac {a_{23}}{a_{22}}}\right]}$

a souřadnice vrcholu jsou

${\displaystyle V=\left[{\frac {a_{23}^{2}-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}}},\;-{\frac {a_{23}}{a_{22}}}\right]}$

Parametr má velikost

${\displaystyle |p|=\left|{\frac {a_{13}}{a_{22}}}\right|}$

Podobně v případě ${\displaystyle a_{12}=a_{22}=0}$ a ${\displaystyle a_{11}a_{23}\neq 0}$ dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme

${\displaystyle y={\frac {a_{13}^{2}+a_{23}^{2}-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}}}$

${\displaystyle F=\left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{13}^{2}-a_{23}^{2}-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}}\right]}$

${\displaystyle V=\left[-{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}}\right]}$

${\displaystyle |p|=\left|{\frac {a_{23}}{a_{11}}}\right|}$

Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel ${\displaystyle \alpha }$ určený vztahem

${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}}}$

• Osa paraboly ${\displaystyle o}$ rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ mající minimum(bod V) na ose ${\displaystyle x}$.

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy x

Vrcholová rovnice:

${\displaystyle (y-n)^{2}=2p(x-m)\,\!}$

Parametrické rovnice:

${\displaystyle x={p \over 2}t^{2}+m\,\!}$

${\displaystyle y=pt+n\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle y^{2}+Ax+By+C=0,A\neq 0\,\!}$

Rovnice řídicí přímky:

${\displaystyle x=m-{p \over 2}\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle (y-n)(y_{0}-n)=p(x+x_{0}-2m)\,\!}$

Osa paraboly ${\displaystyle o}$ rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$ mající maximum(bod V) na ose ${\displaystyle x}$.

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozevirající se do záporné části osy x

Vrcholová rovnice:

${\displaystyle (y-n)^{2}=-2p(x-m)\,\!}$

Parametrické rovnice:

${\displaystyle x=-{p \over 2}t^{2}+m\,\!}$

${\displaystyle y=-pt+n\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle y^{2}+Ax+By+C=0,A\neq 0}$

Rovnice řídicí přímky:

${\displaystyle x=m+{p \over 2}\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle (y-n)(y_{0}-n)=-p(x+x_{0}-2m)\,\!}$

• Osa paraboly ${\displaystyle o}$ rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$ mající minimum. Konvexní parabola.

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy y

Vrcholová rovnice:

${\displaystyle (x-m)^{2}=2p(y-n)\,\!}$

Parametrické rovnice:

${\displaystyle x=pt+m\,\!}$

${\displaystyle y={p \over 2}t^{2}+n\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle x^{2}+Ax+By+C=0,B\neq 0}$

Rovnice řídicí přímky:

${\displaystyle y=n-{p \over 2}\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle (x-m)(x_{0}-m)=p(y+y_{0}-2n)\,\!}$

• Osa paraboly ${\displaystyle o}$ rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$ mající maximum. Konkávní parabola.

Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do záporné části osy y

Vrcholová rovnice:

${\displaystyle (x-m)^{2}=-2p(y-n)\,\!}$

Parametrické rovnice:

${\displaystyle x=-pt+m\,\!}$

${\displaystyle y=-{p \over 2}t^{2}+n\,\!}$

Obecná rovnice:

${\displaystyle x^{2}+Ax+By+C=0,B\neq 0}$

Rovnice řídicí přímky:

${\displaystyle y=n+{p \over 2}\,\!}$

Rovnice tečny v bodě ${\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}$:

${\displaystyle (x-m)(x_{0}-m)=-p(y+y_{0}-2n)\,\!}$

Uspořádáme členy v rovnici.

${\displaystyle 2x^{2}+3x+5y+8=0\,\!}$

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.

${\displaystyle 2\left[(x+{3 \over 4})^{2}-{9 \over 16}\right]=-5y-8\,\!}$

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.

${\displaystyle 2(x+{3 \over 4})^{2}-{9 \over 8}=-5y-8\,\!}$

${\displaystyle (x+{3 \over 4})^{2}=-{55 \over 16}-{5 \over 2}y\,\!}$

${\displaystyle (x+{3 \over 4})^{2}=-{5 \over 2}(y+{11 \over 8})\,\!}$

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly.
Jedná se o parabolu, jejíž osa ${\displaystyle o}$ je rovnoběžná se záporným směrem osy ${\displaystyle y}$.
${\displaystyle p={5 \over 4}\,\!}$, ${\displaystyle V\left[-{3 \over 4},-{11 \over 8}\right]\,\!}$, ${\displaystyle F\left[-{3 \over 4},-2\right]\,\!}$, ${\displaystyle D\left[-{3 \over 4},-{3 \over 4}\right]\,\!}$, d: ${\displaystyle y=-{3 \over 4}\,\!\,\!}$

Řešíme soustavu rovnic paraboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která má řešení – přímka je sečnou paraboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna (žádný společný bod). Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant ${\displaystyle D}$ je:

• D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
• D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku, nebo přímka rovnoběžná s osou paraboly
• D < 0 žádné řešení – přímka není sečna

Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

• výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
• výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější oblasti paraboly
• výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní oblasti paraboly

Z polárních souřadnic je snadno vidět, že kruhovou inverzí paraboly je srdcovka

Parabola s ohniskem v počátku souřadnicového systému s vrcholem na záporné poloose x má obecnou rovnici:

${\displaystyle r(1-\cos \varphi )=p\,}$

kde ${\displaystyle p>0}$ je parametr paraboly.

Odtud je vidět, že parametr paraboly má také význam poloviny délky tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku ${\displaystyle F}$. U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.

Z polární rovnice lze rovněž nahlédnout, že parabola vznikne též kruhovou inverzí srdcovky.