Matematická struktura

Příkladem matematické struktury je monoid, který je definován jako množina M s binární operací ${\displaystyle \circ }$, která:

• je asociativní, tj. pro každé ${\displaystyle x,y,z\in M}$ platí ${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$, pro jednoduchost lze tedy používat zápis ${\displaystyle x\circ y\circ z}$
• má neutrální prvek ${\displaystyle e}$ takový, že ${\displaystyle x\in M}$ platí ${\displaystyle x\circ e=x}$ a ${\displaystyle e\circ x=x}$

Příkladem monoidu je

• množina celých čísel se sčítáním
• množina všech lichých čísel s násobením
• množina všech čtvercových matic velikosti 4 (nebo kterékoli jiné) s maticovým násobením
• a množina všech permutací na jakékoli množině s operací skládání zobrazení.

Příklad struktur, které nejsou monoidy:

• množina kladných reálných čísel s dělením (není asociativní)
• celá čísla od 1 do 10 se sčítáním (výsledek operace někdy neleží v dané množině, například 9+2= 11)
• celá čísla s operací dělení (není asociativní a dělení nulou není definováno)
• celá kladná čísla se sčítáním (nemá neutrální prvek)

Definici monoidu tedy splňují množiny s mnoha různými operacemi. Proto se operace často značí symbolem ${\displaystyle \circ }$, který běžně neoznačuje žádnou konkrétní operaci, aby se zdůraznilo, že tyto vztahy platí ve všech monoidech s různými operacemi.

U monoidů se ovšem operace často značí symbolem + nebo ., které běžně označují sčítání nebo násobení. Toto se používá proto, že nejtypičtější monoidy pracují právě s těmito operacemi, a používá se to i když mluvíme o vztazích, které platí v každém monoidu.

Hlavním přínosem abstraktních struktur je to, že

• umožňují jednotně pracovat s navzájem velmi odlišnými množinami
• umožňují studovat společné vlastnosti těchto různých množin
• zefektivňují dokazování, neboť dokážeme-li, že něco platí v každé grupě, nemusíme to již znovu ověřovat v grupě funkcí, grupě permutací, grupě transformací atd.

Studium abstraktních struktur často přináší cenné poznatky o konkrétních objektech, které bychom pouhým studiem odhalili jen obtížně. Příklad:

• Matematik si všimne společných vlastností dvourozměrného prostoru, třírozměrného prostoru a množiny všech integrovatelných funkcí (což jsou všechno konkrétní matematické objekty). Z těchto vlastností vybere některé vhodné a pomocí jich definuje abstraktní pojem Lineární vektorový prostor (LVP).
• Vědecká komunita zkoumá různé věty platné v Euklidovském prostoru, zda je lze dokázat s využitím jen těch vlastností Euklidovského prostoru, které jsou obsaženy v definici LVP. Pokud takový důkaz existuje, věta platí pro každý LVP a není třeba ji ověřovat zvlášť pro funkce, zvlášť pro matice apod.
• Různé příklady konkrétních LVP přitom poskytují cenné vodítko (co by asi mohlo platit) a protipříklady (například prostor integrovatelných funkcí je protipříkladem k případné hypotéze, že každý LVP má konečnou bázi).
• Takto může někdo například zobecnit algoritmus založený na metodě nejmenších čtverců, který umožňuje k bodu v LVP najít nejlepší aproximaci v daném podprostoru (například chceme-li bod mimo rovinu aproximovat bodem v této rovině, nejlepší aproximací je kolmý průmět). Může se stát, že by nikoho nenapadlo tuto konstrukci provést s funkcemi, ale někoho napadne ověřit, zda ten algoritmus neplatí v každém LVP. V tomto případě je odpověď kladná. Tento algoritmus je principem Fourierovy transformace, která umožňuje například záznam hudby velmi efektivně aproximovat součtem několika funkcí sinus a kosinus. Výsledkem je formát pro ukládání hudby, který za cenu nepatrné ztráty kvality dosáhne velkého snížení datového objemu oproti pravidelnému vzorkování.
• Takto studium abstraktních struktur přineslo konkrétní užitečný výsledek.

Vlastnosti matematické struktury záleží na nosné množině i na operacích. Aby bylo možno o obou těchto objektech mluvit zároveň, definují se matematické struktury formálně jako uspořádané n-tice, z nichž první prvek se nazývá nosná množina. Například monoid je definován

• buď jako uspořádaná dvojice ${\displaystyle (M,\circ )}$, kde M je množina, ${\displaystyle \circ }$ je asociativní binární operace na M s neutrálním prvkem
• nebo jako uspořádaná trojice ${\displaystyle (M,\circ ,e)}$, kde M je množina, ${\displaystyle \circ }$ je asociativní binární operace na M s neutrálním prvkem ${\displaystyle e}$

Díky tomuto zápisu lze například tvrdit, že nějaký monoid je izomorfní s monoidem ${\displaystyle (\mathbb {R} ,.)}$, ale nikoli s monoidem ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$. Bez formalismu s uspořádanými n-ticemi by podobné vztahy šlo vyjádřit jen složitě a těžkopádně. (Že tyto dva monoidy nejsou navzájem izomorfní, to plyne z toho, že každý prvek ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ má inverzní prvek, zatímco v ${\displaystyle (\mathbb {R} ,.)}$ jej nula nemá.)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu matematická struktura na Wikimedia Commons