Uspořádaná množina

Hlavní článek: Uspořádání

Uspořádání na množině A je binární relace R, která je na A reflexivní, tranzitivní a slabě antisymetrická, tj. pro kterou platí následující podmínky:

• ${\displaystyle (\forall x\in A)(xRx)}$ – reflexivita (každý prvek je v relaci R sám se sebou)
• ${\displaystyle (\forall x,y,z\in A)((xRy\land yRz)\implies xRz)}$ – tranzitivita (pokud je prvek množiny v uspořádání mezi jinými dvěma prvky, jsou tyto dva rovněž srovnatelné)
• ${\displaystyle (\forall x,y\in A)((xRy\land yRx)\implies x=y)}$ – slabá antisymetrie (neexistují cykly v uspořádání)

Toto uspořádání nazýváme také přesněji neostré uspořádání.

Ostré uspořádání má definici shodnou s neostrým, ale podmínka reflexivity je nahrazena podmínkou ireflexivity:

• ${\displaystyle (\forall x\in A)(\neg (xRx))}$ – antireflexivita (žádný prvek není v relaci sám se sebou).

Úplné uspořádání (též lineární uspořádání) na množině A, je takové uspořádání, že ${\displaystyle \forall x,y\in A}$ je ${\displaystyle xRy}$ nebo ${\displaystyle yRx}$ (v případě ostrého uspořádání je to přirozeně vyžadováno pouze pro dvojice různých prvků). Uspořádání, které není úplné, se nazývá částečné uspořádání.

(Částečně) uspořádaná množina je množina, na které je definováno neostré částečné uspořádání.

Úplně uspořádaná množina je množina, na které je definováno neostré úplné uspořádání.

1. Relace ${\displaystyle \leq }$ je neostré uspořádání na přirozených číslech i reálných číslech.
2. Relace < je ostré uspořádání na přirozených číslech i reálných číslech.
3. Relace ${\displaystyle \subseteq }$ je neostré uspořádání na potenční množině (množině všech podmnožin) libovolné množiny.
4. Relace „být předkem“ na množině všech lidí je ostré uspořádání.

Všimněte si, že na rozdíl od prvního příkladu nejsou ve třetím a čtvrtém případě každé dva prvky množiny srovnatelné – neplatí ${\displaystyle (\forall x,y\in a)(xRy\vee yRx)}$. V takovém případě hovoříme o částečném uspořádání. Pokud jsou každé dva různé prvky množiny porovnatelné, hovoříme o úplném uspořádání.

To jsou příklady smysluplných a intuitivně „správných“ uspořádání. Do definice uspořádání se ale vejdou i podivnější případy:

• prázdná relace (tj. relace, která neobsahuje žádnou dvojici) je ostré uspořádání nad libovolnou množinou
• relace „existuje cesta z A do B“ je neostrým uspořádáním na množině vrcholů orientovaného acyklického grafu