Abstraktní algebra

Kromě toho, na téže množině je často možné operace definovat několika způsoby a všechny mohou být užitečné. Např. pokud na množině {0,1} uvažujeme sčítání a násobení definované obvyklým způsobem až na to, že 1+1=0, dostaneme tzv. těleso modulo 2, velmi užitečné v teorii šifrování. Pokud uvažujeme 1+1=1, dostaneme Booleovu algebru užitečnou v logice.

Uvedený příklad je nedokonalý, neboť lze argumentovat, že signatura těles či okruhů nemá nic společného se signaturou Booleových algeber (u nichž je navíc běžnější operace značit ∧ a ∨). Ovšem na množině čtvercových matic dané velikosti lze operaci násobení definovat několika způsoby: buď obvyklým maticovým násobením, nebo po prvcích, kdy součin dvou matic A a B má na pozici (i,j) součin prvků A_i,j a B_i,j.

Není tedy možné se zeptat, zda okruh čtvercových matic má nějakou vlastnost (například je izomorfní s jiným okruhem), pokud neupřesníme, jak jsou na něm definovány operace.

Dalším příkladem struktury s neobvykle definovanými operacemi je svaz vyjadřující dělitelnost. Operace "spojení" (${\displaystyle x\vee y}$ ve svazu představuje "nejmenší prvek ${\displaystyle z}$ takový, že ${\displaystyle x\leq z}$ a ${\displaystyle y\leq z}$". Jelikož však ve svazu dělitelnosti relace ${\displaystyle x\leq y}$ představuje "x je dělitel y", je například ${\displaystyle 20\vee 30=60}$, nikoli 30.

Tyto zdánlivě neobvyklé struktury se zkoumají proto, že pomocí nich lze objevit důležité matematické výsledky s mnoha aplikacemi v různých oblastech vědy i v technologické praxi.

Intuitivně je algebraická struktura "množina vybavená operacemi". Aby bylo možné s nimi exaktně pracovat, formálně se tyto struktury definují jako uspořádané n-tice, kde n je číslo o jedna větší, než počet těchto operací.

Například grupa je množina se třemi operacemi, které lze značit např. ${\displaystyle \circ }$, ⁻¹, e (nebudeme se teď držet jiné možné definice, která si vystačí s jednou operací). Grupou je tedy každá uspořádaná čtveřice ${\displaystyle \mathbb {G} }$ = (${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \circ }$, ⁻¹, e) taková, že

• ${\displaystyle \circ }$ je binární operace nad ${\displaystyle G}$, operace ⁻¹ je unární operace nad ${\displaystyle G}$ a e je nulární operace (konstanta) nad ${\displaystyle G}$
• splňuje všechny vztahy v definici grupy, například ${\displaystyle \forall x\in G:x^{-1}\circ x=e}$

Grupa celých čísel je tedy uspořádaná čtveřice (Z, +, -, 0), kde symbol + značí množinu všech uspořádaných trojic celých čísel ${\displaystyle (x,y,z)}$ takových, že ${\displaystyle x+y=z}$.

Množině G v právě uvedené definici se říká nosná množina. Grupa ${\displaystyle \mathbb {G} }$ a její nosná množina G jsou dva různé matematické objekty, ale tam, kde nehrozí nedorozumění, se označují stejným písmenem, takže je běžné psát například

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {G} :x^{-1}\circ x=e}$

ačkoli x je prvkem ${\displaystyle G}$ a nikoli ${\displaystyle \mathbb {G} }$

• Množina vybavená binární operací se nazývá grupoid.
• Je-li operace asociativní, struktuře se říká pologrupa.
• Pokud navíc obsahuje neutrální prvek, nazývá se monoid.
• Monoid, v němž ke každému prvku existuje inverzní prvek, se označuje jako grupa.

Příklad: Celá čísla se sčítáním tvoří grupu. Přirozená čísla včetně nuly se sčítáním tvoří monoid, celá kladná čísla pak pologrupu, neboť neutrálním prvkem pro sčítání je 0. Celá čísla s násobením tvoří monoid, jehož neutrální prvek je 1. Racionální čísla tvoří monoid, neboť k nule neexistuje inverzní prvek. A taky tvoří pologrupu a grupoid, protože každý monoid je zároveň pologrupa a grupoid. (Podobně v ostatních příkladech.)

Příkladem algebraické struktury jsou tělesa a lineární vektorové prostory nad nimi. Typickým příkladem tělesa je množina reálných nebo komplexních čísel, vektorový prostor nad ním je například množina vektorů v třírozměrném prostoru nebo množina všech spojitých funkcí na daném intervalu.

Obecnějším pojmem je okruh a moduly nad okruhem. V definici okruhu vyžadujeme méně podmínek, než u tělesa, takže tuto definici splňuje širší třída matematických objektů. Například množina celých čísel se sčítáním a násobením je okruh, ale nikoli těleso, neboť k většině jejích prvků neexistuje prvek inverzní vzhledem k násobení (například inverzní prvek při sčítání k číslu 2 je -2, ale inverzní prvek při násobení je 1/2 a ten se v množině celých čísel nenachází).

Dalšími algebraickými strukturami jsou například svazy a Booleovy algebry.