Operace (matematika)

Operace je zobrazení z kartézského součinu nějakých množin do kartézského součinu nějakých množin. Formálně zapsáno je tedy operace ω zobrazení typu ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}\rightarrow A_{n+1}\times \dots A_{m}}$ kde ${\displaystyle A_{i}}$ jsou množiny. Z formálního hlediska není kladen požadavek na nenulovou aritu kartézského součinu, je tedy možno uvažovat operace, které nemají vstup nebo výstup.

Arita operace (česky místnost operace) je rovna aritě kartézského součinu vstupu, tzn. obsahuje-li vstup ${\displaystyle n}$ množin, pak říkáme, že operace je ${\displaystyle n}$-ární.

Pro ${\displaystyle n=0}$ jde o operace nulární. Formálně jde o předpis, který bez vstupu vrátí hodnotu. Na konstanty je někdy (například ve funkcionálním programování) výhodné nahlížet jako na nulární operace.

Pro ${\displaystyle n=1}$ jde o operace unární. Unární operace transformují jeden prvek množiny ${\displaystyle A}$ na prvek množiny ${\displaystyle B}$. Mezi unární operace patří např. změna znaménka, absolutní hodnota čísla, nebo operace identity, která přiřazuje každému prvku ${\displaystyle a\in A}$ stejný prvek ${\displaystyle a}$.

Pro ${\displaystyle n=2}$ se jedná o operace binární. Binární operace přiřazují každé dvojici prvků prvek nějaké množiny. Sčítání, odčítání, násobení, dělení nebo mocnění patří mezi binární operace.

Pro ${\displaystyle n=3}$ se jedná o ternární operaci. Ta přiřazuje každé trojici prvků prvek nějaké množiny. Ternární operací je například operátor ?: programovacích jazyků C nebo Java, ale také zápis if … then … else … používaný ve funkcionálních programovacích jazycích.

Operace vyšších arit se vyskytují především v programovacích jazycích, kde jsou nazývány funkce, metody nebo procedury (procedura je operace s prázdným oborem hodnot,^[zdroj?!] anebo naopak podprogram, který sice má vstupy, ale zato je bez vlastního výstupu, nevrací žádnou hodnotu).

Řekneme, že podmnožina ${\displaystyle M\subset A}$ je uzavřená vůči algebraické operaci ω , pokud tato operace vrátí hodnotu z M, kdykoli její argumenty patří do M.

Formálněji: Je-li ${\displaystyle M\subset A}$ množina, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}\,\!}$ přirozené číslo a f zobrazení, jehož definiční obor obsahuje jako svou podmnožinu kartézský součin ${\displaystyle M^{n}\,\!}$, potom M je uzavřená na operaci f , pokud ${\displaystyle \forall a_{1},a_{2}\ldots a_{n}\in M,f(a_{1},a_{2}\ldots a_{n})\in M\,\!}$.

Tento pojem je jiný než pojem uzavřená množina z topologie a matematické analýzy.

• Slovníkové heslo operace ve Wikislovníku