Monoid

V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Asociativita  Neutrální prvek   Inverzní prvek
Grupa AnoAnoAno
Monoid AnoAnoNe
Pologrupa AnoNeNe
Lupa NeAnoAno
Kvazigrupa NeNeAno
Grupoid NeNeNe
Struktury s jednou binární operací

Definice

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × MM, a těmito axiomy:

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

  • ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady

Homomorfismus monoidů

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

  • x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
  • f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Teorie kategorií

V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) splňující , a . Morfismus je morfismem mezi monoidy, pokud a . Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.

Odkazy

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.