Unitární prostor

Vektorový prostor V nazýváme unitární (nebo prehilbertovský) metrický prostor, jestliže každé dvojici ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ je (jednoznačně) přiřazeno (obecně komplexní) číslo ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$, které nazýváme skalárním součinem prvků u a v a splňuje axiomy skalárního součinu. Norma prvku ${\displaystyle \mathbf {u} \in V}$ je určena vztahem

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|={\sqrt {(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )}}}$

a vzdálenost dvou prvků ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ je definována vztahem

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|}$

Úplný unitární prostor se nazývá Hilbertův.

Reálný unitární prostor bývá také označován jako prostor se skalárním součinem.

Prostory se skalárním součinem, které mají konečnou dimenzi, bývají označovány jako euklidovské prostory.