Haarova míra

Haarova míra v matematické analýze je zobecněním Lebesgueovy míry na kompaktní grupy. Na lokálně kompaktní topologické grupě je invariantní mírou jejích podmnožin, a to umožňuje definovat integrál pro funkce na těchto grupách.

Tuto míru zavedl Alfréd Haar v roce 1933,[1] její speciální případ pro Lieovy grupy však definoval již Adolf Hurwitz v roce 1897 pod názvem invariantní integrál.[2] Haarova míra se používá v mnoha oblastech analýzy, teorie čísel, teorie grup, teorie reprezentací, statistiky, teorie pravděpodobnosti a ergodické teorie.

Levá Haarova míra lokálně kompaktní grupy ${\displaystyle G}$ je regulární borelovská míra ${\displaystyle \mu }$, která je invariantní vůči levé translaci a pozitivní na neprázdných otevřených podmnožinách ${\displaystyle G}$. Invariance vůči levé translaci znamená, že pro každou borelovskou podmnožinu ${\displaystyle A}$ a každý prvek grupy ${\displaystyle g}$ platí ${\displaystyle \mu (gA)=\mu (A)}$, neboli zapsáno pomocí integrálu

${\displaystyle \int _{G}f(gx)\,\mathrm {d} \mu =\int _{G}f(x)\,\mathrm {d} \mu }$

pro všechny integrovatelné funkce ${\displaystyle f}$ a všechny prvky grupy ${\displaystyle g}$.

Analogicky lze definovat pravou Haarovu míru invariantní vůči pravé translaci, tj. ${\displaystyle \mu (Ag)=\mu (A)}$. Levá i pravá Haarova míra existují v každé lokálně kompaktní topologické grupě a jsou jednoznačné až na multiplikativní faktor. Pokud se sobě rovnají, což nastává například v případě abelovských grup, nazýváme ${\displaystyle G}$ unimodulární grupou.